Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2024
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
fg093329
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Vitória - ES
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
PEB III - Matemática
Uma roda de samba é composta por músicos que ficam dispostos em roda em torno de uma mesa. Determinada roda de samba conta com 9 músicos e, entre eles, 3 tocam instrumentos de corda. Para melhor organização, definiu-se que entre os músicos que tocam instrumentos de corda estarão sempre dois músicos que não tocam instrumentos de corda.O número de maneiras distintas em que essa roda de samba pode ser organizada é igual a
A240.
B720.
C1440.
D4320.
E8640.
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GabaritoC — 1440.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 1440 maneiras (alternativa C).
A ideia por trás
A permutação circular é a forma de contar disposições em roda, onde rotações são consideradas a mesma coisa: para n elementos distintos, há (n-1)! maneiras de organizá-los em círculo. Quando há uma restrição de que certos elementos devem ficar separados por uma quantidade fixa de outros, a estratégia é tratar os elementos restritos como um bloco ou fixar um deles para eliminar a simetria de rotação. Nesta questão, a restrição de que entre cada par de músicos de corda haja exatamente dois não-corda define um padrão fixo de alternância, o que permite contar as permutações dos músicos de corda e dos não-corda separadamente, após fixar um elemento para anular as rotações.
O que a questão dá
9 músicos no total
3 tocam instrumentos de corda
6 não tocam instrumentos de corda
entre dois músicos de corda consecutivos há sempre 2 não-corda
O que queremos: o número de maneiras distintas de organizar a roda de samba
Passo 1 — Fixar um músico de corda
Em uma roda, girar todos os músicos não muda a disposição. Para contar sem repetir, fixamos um elemento como referência — isso elimina as rotações equivalentes. Escolhemos um dos músicos de corda para fixar, pois a restrição envolve a posição deles.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de fixar um elemento e contar como se fosse uma fila, multiplicando por 9 em vez de usar (n-1)!.
Passo 2 — Permutar os outros músicos de corda
Com um músico de corda fixo, os outros 2 músicos de corda podem ser organizados nas posições restantes que respeitam a restrição. Como a restrição exige que entre cada par de corda haja exatamente 2 não-corda, os 3 de corda devem ocupar posições alternadas com 2 não-corda entre eles. Fixado o primeiro, os outros 2 podem ser permutados entre si.
Por que esta fórmula: Usamos o fatorial de 2 porque são 2 elementos distintos (os outros músicos de corda) que podem trocar de lugar entre si.
De onde vem cada valor: = enunciado: 3 músicos de corda, um já fixado, restam 2
NÃO CAIA NESSA!
Contar 3! para os de corda, esquecendo que um já foi fixado.
Passo 3 — Permutar os músicos que não tocam corda
A restrição define que entre cada par de músicos de corda consecutivos há exatamente 2 não-corda. Como são 3 de corda, há 3 intervalos entre eles, e cada intervalo deve conter 2 não-corda, totalizando 6 não-corda — exatamente os disponíveis. Assim, os 6 não-corda ocupam as 6 posições restantes, e podem ser permutados livremente entre si.
Por que esta fórmula: São 6 músicos distintos (cada um é uma pessoa diferente) que podem ser organizados em 6 posições, então usamos 6!.
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 músicos que não tocam corda
NÃO CAIA NESSA!
Usar 5! em vez de 6!, pensando que um não-corda também deve ser fixado — mas já fixamos um de corda, então os não-corda são todos livres.
Passo 4 — Multiplicar as possibilidades
Cada escolha de posição dos músicos de corda (2 maneiras) pode ser combinada com cada organização dos não-corda (720 maneiras). Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos para obter o total.
Por que esta fórmula: O princípio fundamental da contagem: se uma decisão tem a opções e outra tem b opções independentes, o total é a × b.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar por 3! em vez de 2!, ou esquecer de multiplicar, resultando em 720.