Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2024

Álgebra Linear — Decomposição em Valores Singulares (SVD)

Gabarito: letra E. A sequência correta é F – V – F. Para a matriz $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$, os valores singulares são $\sigma_1 = \sqrt{26}$ e $\sigma_2 = 0$, a primeira coluna de $U$ é $\begin{bmatrix} 2/\sqrt{13} \\ 3/\sqrt{13} \end{bmatrix}$, e a primeira coluna de $V$ deve ser autovetor de $A^T A$ associado a $\lambda = 26$, que é proporcional a $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, não a $[-3/\sqrt{13}, 2/\sqrt{13}]$. Portanto, apenas a segunda afirmativa é verdadeira.

1ª afirmativa — ❌ Falsa

A diagonal de $\Sigma$ contém os valores singulares, raízes quadradas dos autovalores de $A^T A$. Calculando $A^T A = \begin{bmatrix} 13 & 13 \\ 13 & 13 \end{bmatrix}$, seus autovalores são $\lambda_1 = 26$ e $\lambda_2 = 0$. Logo, os valores singulares são $\sigma_1 = \sqrt{26}$ e $\sigma_2 = 0$, e não $\sqrt{6}$. A afirmativa erra ao trocar $0$ por $\sqrt{6}$.

2ª afirmativa — ✅ Verdadeira

A primeira coluna de $U$ é o autovetor normalizado de $AA^T$ associado ao maior autovalor. $AA^T = \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 18 \end{bmatrix}$; para $\lambda=26$, resolvendo $(AA^T - 26I)u=0$ obtemos $u \propto (2,3)$. Normalizando: $u_1 = \frac{1}{\sqrt{2^2+3^2}} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{13} \\ 3/\sqrt{13} \end{bmatrix}$. A afirmativa está correta.

3ª afirmativa — ❌ Falsa

A primeira coluna de $V$ deve ser autovetor de $A^T A$ para o mesmo autovalor $\lambda=26$. De $A^T A = \begin{bmatrix} 13 & 13 \\ 13 & 13 \end{bmatrix}$, resolvendo $(A^T A - 26I)v=0$ obtemos $v \propto (1,1)$. Normalizado: $v_1 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$. O vetor $(-3/\sqrt{13}, 2/\sqrt{13})$ não é múltiplo de $(1,1)$; além disso, não está no núcleo de $A^T A$ (o autovetor para $\lambda=0$ seria $(1,-1)$). Logo, a afirmativa é falsa.

Conclusão: A sequência é F – V – F, que corresponde à alternativa E.