Auditor de Controle Externo - Área Administrativa - Ciência de Dados
Considere a existência de duas caixas idênticas A e B. Na caixa A são colocadas duas bolinhas de cor verde e duas bolinhas cor-de-rosa. Na caixa B são colocadas quatro bolinhas de cor verde.Em seguida, executam-se sequencialmente os passos a seguir:1. Escolhe-se, aleatoriamente, uma das caixas, sem, no entanto, identificá-la.2. Retira-se uma bolinha da caixa escolhida, que revela possuir a cor verde.3. Retira-se uma segunda bolinha da caixa escolhida, que também acaba por possuir a cor verde.A sequência que indica a evolução das probabilidades de que a caixa inicialmente escolhida seja a caixa A ou a caixa B, respectivamente, imediatamente após os passos 1, 2, e 3, é dada por:
A{1/2, 1/2}, {1/3, 2/3}, {1/13, 12/13}
B{1/2, 1/2}, {1/3, 2/3}, {1/7, 6/7}
C{1/2, 1/2}, {1/7, 6/7}, {1/13, 12/13}
D{1/2, 1/2}, {1/3, 2/3}, {1/5, 4/5}
E{1/2, 1/2}, {1/5, 4/5}, {1/13, 12/13}.
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GabaritoB — {1/2, 1/2}, {1/3, 2/3}, {1/7, 6/7}
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Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes
Gabarito: letra B. A sequência correta é {1/2, 1/2}, {1/3, 2/3}, {1/7, 6/7}. Após o passo 1, as probabilidades de A e B são iguais (1/2 cada). Após retirar uma bolinha verde (passo 2), aplica-se o Teorema de Bayes: P(A|V) = 1/3 e P(B|V) = 2/3. Após retirar a segunda bolinha verde (passo 3), as probabilidades atualizam-se para P(A|VV) = 1/7 e P(B|VV) = 6/7. A chave é que a informação de cada retirada verde aumenta a chance de a caixa ser a B, que só contém bolinhas verdes.
O problema envolve probabilidade condicional e atualização bayesiana. Inicialmente, como as caixas são idênticas e a escolha é aleatória, temos:
P(A) = 1/2 e P(B) = 1/2.
A caixa A tem 2 verdes e 2 rosas (total 4); a caixa B tem 4 verdes (total 4). A probabilidade de retirar uma bola verde de cada caixa é:
P(V|A) = 2/4 = 1/2
P(V|B) = 4/4 = 1
Após o passo 2 (primeira bola verde): Queremos P(A|V) e P(B|V). Pelo Teorema de Bayes:
Portanto, P(B|V) = 1 - 1/3 = 2/3. Isso confirma o segundo par {1/3, 2/3}.
Após o passo 3 (segunda bola verde): Agora, a probabilidade de retirar duas verdes em sequência (sem reposição) de cada caixa é:
P(VV|A) = (2/4) × (1/3) = 2/12 = 1/6
P(VV|B) = (4/4) × (3/3) = 1
Aplicando Bayes novamente:
Logo, P(B|VV) = 1 - 1/7 = 6/7. O terceiro par é {1/7, 6/7}.
A sequência completa é: {1/2, 1/2} → {1/3, 2/3} → {1/7, 6/7}, que corresponde à letra B.
O terceiro par {1/13, 12/13} está errado. Esse valor surgiria se a caixa A tivesse mais bolinhas não verdes ou se houvesse reposição, mas aqui a retirada é sem reposição e a caixa A tem apenas 2 verdes em 4. O cálculo correto para duas verdes em A é 1/6, não 1/13.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Apresenta exatamente os valores calculados: {1/2, 1/2} antes de qualquer retirada, {1/3, 2/3} após a primeira verde, e {1/7, 6/7} após a segunda verde. A atualização bayesiana está correta.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O segundo par {1/7, 6/7} está trocado com o terceiro. Após a primeira retirada, a probabilidade de A é 1/3, não 1/7. O valor 1/7 só aparece após a segunda retirada.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O terceiro par {1/5, 4/5} não corresponde a nenhuma etapa. Esse valor seria obtido se a caixa A tivesse 3 verdes em 5, por exemplo, mas não é o caso. O cálculo correto para duas verdes em A é 1/7.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O segundo par {1/5, 4/5} está errado. Após a primeira verde, a probabilidade de A é 1/3, não 1/5. O valor 1/5 não tem base nos dados do problema.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre probabilidade de retirar verde e probabilidade de a caixa ser A dado que saiu verde. Muitos candidatos calculam P(V|A) = 1/2 e acham que P(A|V) também é 1/2, ignorando que a caixa B sempre produz verde. Lembre-se: Bayes inverte a condição, e a informação nova (verde) favorece fortemente a caixa B.
PEGA ESSA DICA!
Monte uma tabela com as probabilidades condicionais e use o Teorema de Bayes passo a passo. Para cada retirada, atualize as probabilidades das caixas. Treine com problemas de urnas e bolas de cores diferentes — é o padrão clássico de Bayes em concursos.