Questão de Estatística — Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação) — FGV 2024

Desvio padrão da distribuição amostral da média com fator de correção para população finita

Gabarito: letra A. O desvio padrão da distribuição das 40 médias amostrais é 8,91. Como a amostragem é feita sem reposição de uma população finita de 5000 elementos, aplica-se o fator de correção para população finita: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$. Substituindo $\sigma = 90$, $n = 100$, $N = 5000$, obtém-se $\frac{90}{10} \cdot \sqrt{\frac{4900}{4999}} = 9 \cdot \frac{70}{70,7} \approx 8,91$.

A questão cobra a distribuição amostral da média — o conjunto de todas as médias que poderiam ser obtidas retirando amostras de tamanho 100 da população de 5000 notas. O desvio padrão dessa distribuição é chamado de erro padrão da média. Quando a amostragem é com reposição (ou a população é infinita), o erro padrão é simplesmente $\sigma / \sqrt{n}$. Mas quando a amostragem é sem reposição e a população é finita, cada retirada reduz a população restante, o que torna as observações levemente dependentes e diminui a variabilidade das médias. Para corrigir isso, multiplica-se por um fator que depende da fração amostral $n/N$: o fator de correção para população finita (FCPF), dado por $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$.

A pegadinha clássica da banca é ignorar o fator de correção e marcar 9 (letra B), que é o erro padrão sem o ajuste. O fator de correção é necessário sempre que a amostragem é sem reposição e a fração amostral $n/N$ não é desprezível (em geral, quando $n/N > 0,05$). Aqui, $n/N = 100/5000 = 0,02$, mas a banca ainda exige o ajuste, pois a população é finita e a amostragem é sem reposição.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A apresenta o valor 8,91, que é exatamente o resultado do cálculo com o fator de correção para população finita. Vejamos o passo a passo:

1. Erro padrão sem correção: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{90}{\sqrt{100}} = \frac{90}{10} = 9$.

2. Fator de correção: $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \sqrt{\frac{5000-100}{5000-1}} = \sqrt{\frac{4900}{4999}}$.

3. Erro padrão corrigido: $9 \cdot \sqrt{\frac{4900}{4999}} = 9 \cdot \frac{\sqrt{4900}}{\sqrt{4999}} = 9 \cdot \frac{70}{70,7} \approx 9 \cdot 0,99 = 8,91$.

O enunciado fornece $\sqrt{4999} = 70,7$ e $100/101 = 0,99$, que são exatamente os valores usados nessa conta. Portanto, a alternativa A está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta o valor 9, que é o erro padrão da média sem o fator de correção para população finita. É o resultado de $\sigma / \sqrt{n} = 90/10 = 9$. A banca coloca esse valor como distrator para o candidato que esquece de aplicar o fator de correção, que é obrigatório quando a amostragem é sem reposição e a população é finita. O valor 9 seria correto se a amostragem fosse com reposição ou se a população fosse infinita.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta o valor 60, que não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Pode ser uma tentativa de confundir com a média (600) dividida por algo, ou um erro de cálculo. Não há fundamento estatístico para esse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta o valor 89,1, que é 10 vezes o valor correto (8,91). Provavelmente o candidato esqueceu de dividir por $\sqrt{n}$ ou aplicou o fator de correção de forma incorreta. O valor 89,1 seria obtido se fizéssemos $90 \times 0,99 = 89,1$, ignorando a divisão por $\sqrt{n}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta o valor 90, que é o desvio padrão populacional original. A banca coloca esse valor para testar se o candidato entende que o desvio padrão da distribuição amostral é menor que o desvio padrão populacional, pois a média de uma amostra tende a se aproximar da média populacional. O valor 90 seria o desvio padrão das notas individuais, não das médias amostrais.

Gabarito: letra A