Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg096780

Probabilidade em amostragem aleatória simples sem reposição

Gabarito: letra E. A probabilidade de a amostra de 4 bolas conter exatamente uma de cada cor é $\frac{8}{35}$ . Isso decorre da contagem de combinações: há $\binom{8}{4}=70$ amostras possíveis e $2^4=16$ amostras favoráveis (uma de cada cor), pois para cada cor há 2 escolhas possíveis. A razão é $\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$ .

A questão envolve amostragem aleatória simples sem reposição e o cálculo de probabilidade por análise combinatória. Como as bolas são retiradas sem reposição, cada amostra de 4 bolas é um subconjunto do conjunto de 8 bolas, e todos os subconjuntos de mesmo tamanho são igualmente prováveis — exatamente a definição de amostra aleatória simples.

O total de amostras possíveis é o número de combinações de 8 bolas tomadas 4 a 4:

\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!4!} = 70

Para que a amostra contenha apenas uma bola de cada cor, precisamos escolher 1 bola amarela (entre 2), 1 azul (entre 2), 1 vermelha (entre 2) e 1 branca (entre 2). Pelo princípio multiplicativo:

\binom{2}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{2}{1} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

Portanto, a probabilidade é:

P = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}

A pegadinha clássica aqui é esquecer que as bolas de mesma cor são distintas (há 2 de cada cor) e contar apenas 1 possibilidade por cor, obtendo $\frac{1}{70}$ — ou, ao contrário, contar as bolas como se fossem todas diferentes e usar arranjo em vez de combinação. Outro erro comum é calcular com reposição, o que mudaria o denominador para $8^4$ .

Amostra de 4 bolas de 4 cores — só Amostras possíveis: 70; só Amostras favoráveis: 16; Amostras possíveis∩Amostras favoráveis: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

4/9 não corresponde a nenhuma contagem direta do problema. Esse valor não surge de combinações de 8 bolas tomadas 4 a 4 nem de qualquer razão simples entre os casos favoráveis e possíveis. É um distrator numérico sem fundamento.

Alternativa B — ❌ Incorreta

9/35 é o dobro da resposta correta ( $\frac{8}{35}$ ). Provavelmente foi obtido por um erro de contagem dos casos favoráveis (por exemplo, contando 18 em vez de 16) ou por uma simplificação incorreta de outra fração. Não há base combinatória para esse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

9/70 é a metade da resposta correta ( $\frac{8}{35} = \frac{16}{70}$ ). Esse valor corresponderia a 9 casos favoráveis, o que não é possível, pois o número de amostras com uma bola de cada cor é exatamente 16. Provavelmente o candidato contou apenas 1 possibilidade por cor (total 1) e errou no denominador, ou cometeu um erro de contagem.

Alternativa D — ❌ Incorreta

4/7 é um valor alto demais. Se a probabilidade fosse $\frac{4}{7} \approx 0,57$ , mais da metade das amostras teriam uma bola de cada cor, o que não condiz com a contagem real ( $\frac{8}{35} \approx 0,23$ ). Esse valor pode ter sido obtido por uma razão incorreta, como $\frac{4}{7}$ vinda de $\frac{4}{7}$ das bolas serem de cores diferentes, mas não é a probabilidade pedida.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

8/35 é exatamente a razão entre os casos favoráveis (16) e o total de amostras possíveis (70), simplificada por 2: $\frac{16}{70} = \frac{8}{35}$ . A contagem está correta: escolhemos 1 bola de cada uma das 4 cores, cada escolha com 2 possibilidades, totalizando $2^4 = 16$ amostras favoráveis, e o total de amostras é $\binom{8}{4} = 70$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre combinação e arranjo, e entre com e sem reposição. Muitos candidatos contam as bolas como se fossem todas distintas e usam $8 \times 7 \times 6 \times 5$ (arranjo) no denominador, ou esquecem que há 2 bolas de cada cor e contam apenas 1 caso favorável por cor. Lembre-se: em amostragem sem reposição, a ordem não importa — use combinação. E como há 2 bolas de cada cor, o número de formas de escolher uma de cada é $2^4 = 16$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de probabilidade com amostragem sem reposição, monte a fração com combinações: numerador = produto das combinações de cada grupo (aqui, $\binom{2}{1}^4$ ), denominador = combinação total ( $\binom{8}{4}$ ). Se a amostra for com reposição, o denominador seria $8^4$ e o numerador $2^4$ (cada extração independente). Treine identificar rapidamente se a ordem importa e se há reposição — isso decide a fórmula.

Gabarito: letra E