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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg097028
Banca
FGV
Órgão
TCE-PA
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Auditor de Controle Externo - Área Administrativa - Engenharia Telecomunicação
Num pote foram colocadas oito bolas, sendo duas amarelas, duas azuis, duas vermelhas e duas brancas. Ao se retirar do pote uma amostra aleatória simples de quatro bolas, a probabilidade de que ela contenha apenas uma bola de cada cor é
  1. A4/9.
  2. B9/35.
  3. C9/70.
  4. D4/7.
  5. E8/35.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 8/35.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 8/35 (alternativa E).

A ideia por trás

A probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Quando a ordem não importa e não há reposição, contamos os casos com combinações. O número de maneiras de escolher k objetos entre n é C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Aqui, o espaço amostral é o total de combinações de 4 bolas entre 8. O evento favorável é escolher uma bola de cada cor: para cada cor há 2 opções, então multiplicamos 2×2×2×2. A probabilidade é a razão entre esses números. Nesta questão, a pegadinha é tentar resolver por probabilidade sequencial, mas o correto é usar combinação.

O que a questão dá

  • 8 bolas no total

  • 2 amarelas, 2 azuis, 2 vermelhas, 2 brancas

  • amostra de 4 bolas

O que queremos: a probabilidade de a amostra conter exatamente uma bola de cada cor

Passo 1 — Calcular o total de amostras possíveis

Precisamos do espaço amostral: todas as maneiras de escolher 4 bolas entre 8, sem importar a ordem. Como a ordem não importa, usamos combinação.

Por que esta fórmula: A combinação C(n,k) conta quantos grupos de k elementos podemos formar a partir de n elementos, sem considerar a ordem. É exatamente o que precisamos para o total de amostras.

C8,4=8!4!⋅(8−4)!C_{8,4} = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: oito bolas no total · 44 = enunciado: amostra de quatro bolas

C8,4=8!4!⋅4!=8⋅7⋅6⋅54⋅3⋅2⋅1=70C_{8,4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70

C8,4C_{8,4} = 70 amostras possíveis

NÃO CAIA NESSA!

Calcular C(8,4) como 8×7×6×5 = 1680, esquecendo de dividir por 4!. O resultado correto é 70.

Passo 2 — Contar as amostras com uma bola de cada cor

Agora contamos os casos favoráveis: amostras que têm exatamente uma bola de cada cor. Para cada cor, temos 2 bolas disponíveis, então escolhemos 1 de cada.

Por que esta fórmula: Pelo princípio multiplicativo: para a cor amarela há 2 escolhas, para a azul 2, para a vermelha 2 e para a branca 2. Multiplicamos porque cada escolha é independente.

2×2×2×22 \times 2 \times 2 \times 2

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: duas bolas de cada cor

2×2×2×2=162 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

16 amostras favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que há 2 bolas de cada cor e contar apenas 1 opção por cor, resultando em 1×1×1×1 = 1.

Passo 3 — Dividir os casos favoráveis pelos possíveis

A probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis. Já temos os dois números, então basta dividir.

Por que esta fórmula: A definição clássica de probabilidade: P = (casos favoráveis)/(casos possíveis), quando todos os casos são igualmente prováveis.

P=1670P = \frac{16}{70}

De onde vem cada valor: 1616 = passo 2: amostras favoráveis · 7070 = passo 1: total de amostras possíveis

P=1670=835=8 /35P = \frac{16}{70} = \frac{8}{35} = \boxed{8\ /35}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração: 16/70 é equivalente, mas a alternativa pede a forma simplificada 8/35.

Resposta: 8/35 (alternativa E)

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