Questão de Matemática — Equação Logarítmica — FGV 2024

Matemática — Gráficos Log-Log e Relações de Potência

Gabarito: letra A. Em um gráfico do tipo log-log, uma reta representa uma relação de potência da forma $B = k \cdot T^n$. A inclinação da reta ($m$) é dada pela razão entre a variação dos logaritmos: $m = \frac{\log B_2 - \log B_1}{\log T_2 - \log T_1}$. Utilizando os pontos $(10^1, 10^{-5})$ e $(10^2, 10^{-11})$, temos $m = \frac{-11 - (-5)}{2 - 1} = -6$, o que define o expoente $n = -6$. Substituindo um ponto na equação $B = k \cdot T^{-6}$, encontramos $10^{-5} = k \cdot (10^1)^{-6}$, logo $k = 10^1$, resultando na expressão $B = 10^1 \cdot T^{-6} = 10 \cdot T^{-6}$.

Análise da Relação

O gráfico log-log transforma a relação não linear $B = k \cdot T^n$ em uma relação linear através da aplicação de logaritmos em ambos os lados: $\log B = \log k + n \cdot \log T$. Aqui, $\log B$ atua como a variável dependente ($y$), $\log T$ como a independente ($x$), $n$ como o coeficiente angular e $\log k$ como o coeficiente linear.

1. Cálculo do coeficiente angular ($n$):

   Escolhendo dois pontos do gráfico: $P_1 = (10^1, 10^{-5})$ e $P_2 = (10^2, 10^{-11})$.

   $n = \frac{\log_{10}(10^{-11}) - \log_{10}(10^{-5})}{\log_{10}(10^2) - \log_{10}(10^1)} = \frac{-11 - (-5)}{2 - 1} = \frac{-6}{1} = -6$

1. Cálculo da constante ($k$):

   Substituindo $n = -6$ e o ponto $P_1$ na equação $B = k \cdot T^n$:

   $10^{-5} = k \cdot (10^1)^{-6} \implies 10^{-5} = k \cdot 10^{-6} \implies k = \frac{10^{-5}}{10^{-6}} = 10^1 = 10$

Portanto, a equação é $B = 10 \cdot T^{-6}$.

Alternativas

• Alternativa A — ✅ Correta ⟵ Gabarito**: A expressão $B = 10T^{-6}$ corresponde exatamente aos parâmetros calculados a partir da inclinação e intercepto da reta no gráfico log-log.

• Alternativa B — ❌ Incorreta: O expoente calculado é $-6$, não $-5$. O uso de $-5$ ignoraria a inclinação real observada entre os pontos.

• Alternativa C e D — ❌ Incorretas: Estas alternativas propõem relações lineares simples ($B = mT + c$), o que é incompatível com a natureza de um gráfico log-log, onde os eixos já representam escalas logarítmicas.

• Alternativa E — ❌ Incorreta: A forma $B = 10^{-6}T^{+1}$ descreve uma relação linear com inclinação positiva, o que contradiz a tendência decrescente observada no gráfico.