Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg097054

Probabilidade com função densidade triangular

Gabarito: letra B. A probabilidade de $-3,0 < x < 0,8$ é 0,98. Como a densidade $p(x) = 1 - |x|$ é nula fora do intervalo $(-1, 1)$ , a probabilidade pedida se reduz à integral de $-1$ até $0,8$ da função $1 - |x|$ , que vale $0,98$ .

A função $p(x) = 1 - |x|$ para $|x| < 1$ descreve uma distribuição triangular (ou de Simpson) com vértice em $x = 0$ , onde $p(0) = 1$ , e base indo de $-1$ a $1$ . Fora desse intervalo, a densidade é zero. Para calcular $P(-3 < X < 0,8)$ , devemos integrar a densidade apenas onde ela é positiva, ou seja, de $-1$ até $0,8$ .

A integral se divide em duas partes por causa do módulo:

Para $-1 \le x < 0$ : $|x| = -x$ , logo $p(x) = 1 - (-x) = 1 + x$ .
Para $0 \le x \le 0,8$ : $|x| = x$ , logo $p(x) = 1 - x$ .

Assim:

P(-3 < X < 0,8) = \int_{-1}^{0} (1+x)\,dx + \int_{0}^{0,8} (1-x)\,dx

Calculando a primeira integral:

\int_{-1}^{0} (1+x)\,dx = \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left(0 + 0\right) - \left(-1 + \frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{1}{2} = 0,5

Calculando a segunda integral:

\int_{0}^{0,8} (1-x)\,dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{0,8} = \left(0,8 - \frac{0,64}{2}\right) - 0 = 0,8 - 0,32 = 0,48

Somando:

P(-3 < X < 0,8) = 0,5 + 0,48 = 0,98

Portanto, a probabilidade é 0,98, o que corresponde à letra B.

Probabilidade em distribuição triangular — só Intervalo (-1, 0): 0.5; só Intervalo (0, 0.8): 0.48; Intervalo (-1, 0)∩Intervalo (0, 0.8): 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,96 seria obtido se o aluno integrasse apenas de $0$ a $0,8$ e somasse $0,5$ de forma incorreta, ou se cometesse erro de arredondamento na segunda integral. O cálculo correto dá 0,98.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a integral de $-1$ a $0,8$ da densidade triangular resulta em $0,5 + 0,48 = 0,98$ . A alternativa espelha exatamente o valor correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,99 seria o resultado se o aluno considerasse a área total do triângulo (que é 1) e subtraísse apenas a pequena área de $0,8$ a $1$ (que vale $0,02$ ), obtendo $0,98$ — mas aqui o valor 0,99 não corresponde a nenhuma operação direta. Provavelmente é um distrator próximo do valor correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,92 seria obtido se o aluno integrasse apenas a parte de $0$ a $0,8$ (0,48) e somasse 0,44 (erro na primeira integral), ou se considerasse o intervalo de $-0,8$ a $0,8$ (que daria 0,96). Não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,04 é a área da cauda direita do triângulo, de $0,8$ a $1$ : $\int_{0,8}^{1} (1-x)\,dx = 0,02$ . O aluno que calcula apenas essa cauda (ou a soma das duas caudas, $0,02 + 0,02 = 0,04$ ) erra ao não perceber que a probabilidade pedida é a área central, não a cauda.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a área central (que é a probabilidade pedida) e a área das caudas. O candidato apressado pode calcular a área de $0,8$ a $1$ (0,02) e achar que a resposta é 0,04 (letra E), ou somar errado e cair em 0,96 (letra A). Lembre-se: a probabilidade de um intervalo é sempre a área sob a densidade dentro do intervalo, e como a densidade é zero fora de $(-1,1)$ , o intervalo $(-3, 0,8)$ equivale a $(-1, 0,8)$ .

PEGA ESSA DICA!

Para funções com módulo, quebre a integral nos pontos onde a expressão muda (aqui, em $x=0$ ). Desenhe o triângulo: a área total é 1 (base 2 × altura 1 / 2). A área de $-1$ a $0$ é metade do triângulo (0,5). A área de $0$ a $0,8$ é um trapézio de bases 1 e 0,2 e altura 0,8: $\frac{(1+0,2)\times 0,8}{2} = 0,48$ . Some: $0,5 + 0,48 = 0,98$ . Esse raciocínio geométrico evita erros de integração.

Gabarito: letra B