Questão de Física — Cinemática — FGV 2024

Movimento circular uniforme: de coordenadas cartesianas a polares

Gabarito: letra B. A partícula descreve um MCU de raio $r = 3$ e velocidade angular $\omega = -3$ rad/s, de modo que a coordenada angular é $\theta = -3t$ — exatamente o que a alternativa B afirma. A chave está em reescrever $y = -3\cos(3t - \pi/2)$ usando a identidade $\cos(\alpha - \pi/2) = \sin\alpha$, o que revela $y = -3\sin(3t)$ e, portanto, $x = 3\cos(3t)$, $y = -3\sin(3t)$ — a parametrização clássica de um círculo de raio 3 percorrido no sentido horário.

O movimento circular uniforme é o movimento em que a trajetória é uma circunferência e o módulo da velocidade é constante. Em coordenadas polares $(r, \theta)$, a posição fica totalmente descrita pelo raio $r$ (distância à origem) e pelo ângulo $\theta$ (medido a partir do eixo $x$ positivo). A conversão entre coordenadas cartesianas e polares é feita por:

No MCU, o raio é constante e o ângulo varia linearmente com o tempo: $\theta(t) = \theta_0 + \omega t$, onde $\omega$ é a velocidade angular (positiva para sentido anti-horário, negativa para sentido horário). A banca explora exatamente a confusão entre o sinal de $\omega$ e a fase inicial $\theta_0$: muitos candidatos identificam corretamente o raio, mas erram o sinal ou a constante de fase.

Vamos à resolução passo a passo. Dadas as equações:

Usando a identidade trigonométrica $\cos(\alpha - \pi/2) = \sin\alpha$, temos:

Assim, o par $(x, y)$ é:

Isso é exatamente a parametrização de um círculo de raio 3, pois $x^2 + y^2 = 9[\cos^2(3t) + \sin^2(3t)] = 9$, logo $r = 3$. Para o ângulo, comparamos com a forma geral $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Aqui $y = -3\sin(3t) = 3\sin(-3t)$, então $\theta = -3t$ (a menos de múltiplos de $2\pi$). Portanto, em coordenadas polares: $r = 3$ e $\theta = -3t$.

A velocidade angular é $\omega = -3$ rad/s, indicando que a partícula gira no sentido horário (por isso o sinal negativo). A alternativa B é a única que apresenta exatamente esses valores.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma $\theta = 3t$, com sinal positivo. Isso corresponderia a $y = +3\sin(3t)$, mas o enunciado traz $y = -3\cos(3t - \pi/2) = -3\sin(3t)$. O sinal negativo indica rotação no sentido horário, então $\theta$ deve decrescer com o tempo: $\theta = -3t$. A banca troca o sentido de rotação.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $r = 3$ e $\theta = -3t$. A identidade $\cos(3t - \pi/2) = \sin(3t)$ transforma $y$ em $-3\sin(3t)$, e a comparação com $y = r\sin\theta$ dá $\theta = -3t$. O raio é constante e igual a 3, pois $x^2 + y^2 = 9$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\theta = -3t + \pi/2$. Isso introduz uma fase inicial de $+\pi/2$, que não existe no movimento. Se $\theta = -3t + \pi/2$, teríamos $x = 3\cos(-3t + \pi/2) = 3\sin(3t)$ e $y = 3\sin(-3t + \pi/2) = 3\cos(3t)$, o que não corresponde às equações dadas. A fase inicial correta é zero (ou múltiplo de $2\pi$).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma $\theta = 3t - \pi/2$. Aqui o sinal de $\omega$ está errado (positivo, quando deveria ser negativo) e há uma fase inicial de $-\pi/2$. Se $\theta = 3t - \pi/2$, teríamos $x = 3\cos(3t - \pi/2) = 3\sin(3t)$ e $y = 3\sin(3t - \pi/2) = -3\cos(3t)$, que não bate com o enunciado. O erro é duplo: sentido de rotação e fase.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Erra o raio: $r = 3\sqrt{2}$. Isso seria o raio se $x$ e $y$ tivessem amplitudes diferentes ou se houvesse um fator $\sqrt{2}$ nas coordenadas, mas aqui ambos têm amplitude 3 e estão defasados de $\pi/2$, resultando em $r = 3$. O ângulo $\theta = 3t$ também está com o sinal errado.

Gabarito: letra B