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Questão de Matemática Financeira — Juros compostos — FGV 2024

Matemática FinanceiraJuros compostos
Código
fg097616
Banca
FGV
Órgão
TCE-PA
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Auxiliar Técnico de Controle Externo
No sistema de juros compostos, considere:I. i a taxa efetiva mensal de juros correspondente à taxa nominal de 132% ao semestre, capitalizada bimestralmente;II. j a taxa nominal ao ano, capitalizada trimestralmente, que corresponde à taxa efetiva mensal de juros igual a i.O valor de j é
  1. A284,0%.
  2. B286,8%.
  3. C288,6%.
  4. D289,4%.
  5. E291,2%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 291,2%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a j = 291,2% ao ano, capitalizada trimestralmente — alternativa E..

A ideia por trás

No regime de juros compostos, a taxa nominal é aquela cujo período de referência não coincide com o período de capitalização; ela é apenas uma taxa 'anunciada' e precisa ser convertida para a taxa efetiva do período de capitalização, dividindo-a proporcionalmente pelo número de períodos de capitalização contidos no período da taxa nominal. Já a taxa efetiva é a que realmente incide sobre o capital em cada período de capitalização. Para converter taxas efetivas entre períodos diferentes, usa-se a relação de equivalência: (1 + i_a)^{n_a} = (1 + i_b)^{n_b}, onde n_a e n_b são os números de períodos menores contidos no período maior. Essa relação vem do fato de que, em juros compostos, o montante cresce exponencialmente com o tempo, então taxas equivalentes devem produzir o mesmo fator de crescimento no mesmo intervalo de tempo. Nesta questão, precisamos primeiro obter a taxa efetiva mensal i a partir da taxa nominal semestral, e depois encontrar a taxa nominal anual j que, capitalizada trimestralmente, corresponde à mesma taxa efetiva mensal.

O que a questão dá

  • taxa nominal = 132% ao semestre, capitalizada bimestralmente

  • período de capitalização = bimestre

  • 1 semestre = 3 bimestres

  • 1 bimestre = 2 meses

  • 1 ano = 4 trimestres

O que queremos: a taxa nominal anual j, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva mensal i

Passo 1 — Calcular a taxa efetiva bimestral

A taxa nominal de 132% ao semestre é apenas uma taxa de referência; como a capitalização é bimestral, precisamos saber quanto rende efetivamente em cada bimestre. Como um semestre tem 3 bimestres, a taxa efetiva bimestral é obtida dividindo a taxa nominal pelo número de períodos de capitalização.

Por que esta fórmula: A taxa nominal é proporcional ao período de capitalização, então dividimos a taxa nominal pelo número de períodos de capitalização contidos no período da taxa nominal.

ibim=inomni_{bim} = \frac{i_{nom}}{n}

De onde vem cada valor: inomi_{nom} = enunciado: 132% ao semestre · nn = enunciado: 1 semestre = 3 bimestres

ibim=132%3=44 %aobimestrei_{bim} = \frac{132\%}{3} = \boxed{44\ \% \text{ao} \text{bimestre}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 1 semestre tem 3 bimestres e dividir por 6 (meses), obtendo 22% — mas o período de capitalização é bimestre, não mês.

Passo 2 — Converter a taxa bimestral para mensal

Precisamos da taxa efetiva mensal i, mas temos a taxa bimestral. Como 1 bimestre = 2 meses, usamos a equivalência de taxas em juros compostos: o fator de crescimento de 1 bimestre deve ser igual ao fator de crescimento de 2 meses.

Por que esta fórmula: Em juros compostos, taxas equivalentes satisfazem (1 + i_a)^{n_a} = (1 + i_b)^{n_b}, onde n_a e n_b são os números de períodos menores contidos no período maior. Aqui, o período maior é o bimestre (2 meses), então (1 + i_{bim}) = (1 + i_{mes})^2.

(1+ibim)=(1+imes)2(1 + i_{bim}) = (1 + i_{mes})^{2}

De onde vem cada valor: ibimi_{bim} = passo 1: 44% = 0,44 · 22 = enunciado: 1 bimestre = 2 meses

(1+0,44)=(1+imes)2(1 + 0{,}44) = (1 + i_{mes})^{2}
imes≈0,2=20% a.m.i_{mes} \approx 0{,}2 = \boxed{20\% \text{ a.m.}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar juros simples (dividir 44% por 2) em vez de juros compostos, obtendo 22% — mas a equivalência exige raiz quadrada.

Passo 3 — Calcular a taxa efetiva trimestral equivalente

Agora temos a taxa efetiva mensal i = 20% a.m. Precisamos da taxa efetiva trimestral, pois a taxa nominal anual j é capitalizada trimestralmente. Como 1 trimestre = 3 meses, usamos a equivalência de taxas.

Por que esta fórmula: Mesma relação de equivalência: o fator de crescimento de 1 trimestre deve ser igual ao fator de crescimento de 3 meses, então (1 + i_{trim}) = (1 + i_{mes})^3.

(1+itrim)=(1+imes)3(1 + i_{trim}) = (1 + i_{mes})^{3}

De onde vem cada valor: imesi_{mes} = passo 2: 20% = 0,20 · 33 = enunciado: 1 trimestre = 3 meses

(1+itrim)=(1+0,20)3(1 + i_{trim}) = (1 + 0{,}20)^{3}
itrim≈0,728=72,8% a.t.i_{trim} \approx 0{,}728 = \boxed{72{,}8\% \text{ a.t.}}
NÃO CAIA NESSA!

Elevar (1,20) ao quadrado em vez de ao cubo, esquecendo que o trimestre tem 3 meses.

Passo 4 — Obter a taxa nominal anual j

A taxa nominal anual j é capitalizada trimestralmente, ou seja, a taxa efetiva trimestral é aplicada 4 vezes ao ano. Para achar a taxa nominal, multiplicamos a taxa efetiva trimestral pelo número de trimestres no ano.

Por que esta fórmula: A taxa nominal é proporcional à taxa efetiva do período de capitalização, então j = i_{trim} × 4.

j=itrim×4j = i_{trim} \times 4

De onde vem cada valor: itrimi_{trim} = passo 3: 72,8% = 0,728 · 44 = enunciado: 1 ano = 4 trimestres

j=0,728×4j = 0{,}728 \times 4

j=2,912=291,2% a.a.j = 2{,}912 = 291{,}2\% \text{ a.a.}

NÃO CAIA NESSA!

Usar a taxa efetiva mensal diretamente (20% × 12 = 240%) em vez de converter para trimestral primeiro.

Resposta: j = 291,2% ao ano, capitalizada trimestralmente — alternativa E.

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