Questão de Matemática — Sistemas de Numeração e Operações Fundamentais — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 814,00 (alternativa D).

A ideia por trás

Juros compostos são aqueles em que, a cada período, o juro incide sobre o montante acumulado até ali — ou seja, o saldo devedor cresce de forma multiplicativa, não aditiva. A taxa de 10% ao bimestre significa que, a cada dois meses, o valor devido é multiplicado por 1,10. Para comparar valores em datas diferentes, usamos a equivalência de capitais: todos os valores são levados para uma mesma data (a data focal) aplicando o fator (1+i)^n, onde n é o número de períodos entre a data do valor e a data focal. Nesta questão, a data focal é julho: levamos o empréstimo e os pagamentos de março e maio para julho, e a diferença entre o montante devido e a soma dos pagamentos capitalizados é o valor da última parcela.

O que a questão dá

• empréstimo = R$ 2.000,00 em janeiro

• taxa de juros = 10% ao bimestre

• pagamento em março = R$ 800,00

• pagamento em maio = R$ 800,00

• pagamento em julho = ?

O que queremos: o valor pago em julho para liquidar a dívida

Passo 1 — Calcular o montante da dívida em julho

Precisamos saber quanto a dívida de R$ 2.000,00 valeria em julho se nenhum pagamento fosse feito, para depois comparar com os pagamentos. Como os juros são compostos, o valor cresce multiplicando por 1,10 a cada bimestre.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula do montante em juros compostos: M = C · (1+i)^n, porque a dívida cresce de forma exponencial, não linear.

De onde vem cada valor: $C$ = enunciado: R$ 2.000,00 · $i$ = enunciado: 10% ao bimestre = 0,10 · $n$ = de janeiro a julho são 3 bimestres (jan-fev, mar-abr, mai-jun)

$M$ = R$ 2.662,00

Passo 2 — Capitalizar o pagamento de março até julho

O pagamento de R$ 800,00 feito em março não pode ser subtraído diretamente do montante de julho, porque ele foi pago antes. Para comparar na mesma data, precisamos levar esse valor para julho, aplicando os juros compostos de março a julho.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula de montante, pois o valor pago em março, se fosse aplicado, renderia juros até julho.

De onde vem cada valor: $800$ = enunciado: pagamento de março · $i$ = enunciado: 10% ao bimestre · $n$ = de março a julho são 2 bimestres (mar-abr, mai-jun)

$M_{mar}$ = R$ 968,00

Passo 3 — Capitalizar o pagamento de maio até julho

O pagamento de maio também precisa ser levado para julho, pois foi feito um bimestre antes. Assim, todos os valores ficam na mesma data.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula de montante, agora com n = 1 bimestre.

De onde vem cada valor: $800$ = enunciado: pagamento de maio · $i$ = enunciado: 10% ao bimestre · $n$ = de maio a julho é 1 bimestre

$M_{mai}$ = R$ 880,00

Passo 4 — Montar a equação de equivalência em julho

Na data focal de julho, o valor total devido (montante do empréstimo) deve ser igual à soma dos pagamentos capitalizados mais a parcela de julho. Isso garante que a dívida seja quitada exatamente.

Por que esta fórmula: A equação de equivalência de capitais iguala o valor do empréstimo na data focal à soma dos valores dos pagamentos também na data focal.

De onde vem cada valor: $M$ = passo 1: R$ 2.662,00 · $M_{mar}$ = passo 2: R$ 968,00 · $M_{mai}$ = passo 3: R$ 880,00 · $X$ = parcela de julho (incógnita)

Resposta: R$ 814,00 (alternativa D)