Questão de Estatística — Regressão Linear — FGV 2024

Coeficiente de determinação R²

Gabarito: letra B. O coeficiente de determinação R² é a razão entre a soma dos quadrados explicada (SQE) e a soma dos quadrados total (SQT), ou seja, R² = SQE/SQT. Essa é a definição clássica que mede a proporção da variabilidade total de Y que é explicada pelo modelo de regressão.

O R², também chamado de coeficiente de determinação ou de explicação, quantifica o poder explicativo do modelo: ele indica o percentual da variação da variável dependente que é capturado pelas variáveis explicativas. Em uma regressão linear, a variação total de Y (SQT) se decompõe em duas partes: a variação explicada pelo modelo (SQE, também chamada de soma dos quadrados da regressão ou do modelo) e a variação não explicada, que fica nos resíduos (SQR). A relação fundamental é:

SQT = SQE + SQR

A partir dessa decomposição, o R² pode ser expresso de duas formas equivalentes:

R² = SQE / SQT = 1 − SQR / SQT

A primeira forma é a definição direta: a proporção da variação total que o modelo explica. A segunda é uma consequência algébrica, pois SQE = SQT − SQR. Ambas são corretas e muito cobradas em provas. O R² varia entre 0 e 1 (ou 0% e 100%): quanto mais próximo de 1, melhor o ajuste do modelo aos dados.

A pegadinha da banca aqui é inverter os termos: colocar SQR no numerador (alternativa C) ou usar SQE/SQR (alternativa D), que não tem significado direto como medida de ajuste. O candidato que decora a fórmula sem entender a lógica da decomposição pode cair nessas armadilhas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta R² = 1 − SQE/SQT. Isso está errado: a fórmula correta com o 1 é R² = 1 − SQR/SQT. A banca trocou SQR por SQE no numerador da fração que é subtraída de 1. Como SQE = SQT − SQR, a expressão 1 − SQE/SQT resultaria em SQR/SQT, que é justamente a proporção da variação não explicada — o complemento do R², não o R².

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

R² = SQE/SQT é a definição exata do coeficiente de determinação: a razão entre a soma dos quadrados explicada (modelo) e a soma dos quadrados total. É a medida que representa a proporção da variabilidade de Y explicada pela regressão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R² = SQR/SQT é a proporção da variação não explicada pelo modelo (a variação residual). Essa razão é o complemento do R²: 1 − R² = SQR/SQT. A banca inverteu o numerador, trocando a parte explicada pela parte residual.

Alternativa D — ❌ Incorreta

R² = SQE/SQR é uma razão sem sentido direto como coeficiente de determinação. Ela compara a variação explicada com a variação residual, mas não representa a proporção da variação total explicada. Não há interpretação padrão para essa razão no contexto de regressão linear.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R² = SQT/SQE é o inverso da definição correta. Enquanto o R² deve ser um valor entre 0 e 1 (proporção), essa razão seria maior ou igual a 1 (já que SQT ≥ SQE), o que já indica que não pode ser uma medida de proporção explicada. A banca inverteu numerador e denominador.

Gabarito: letra B