Questão de Estatística — Propriedades dos estimadores — FGV 2024

Propriedades dos estimadores

Gabarito: letra D. Suficiência é, de fato, a propriedade segundo a qual o estimador (estatística suficiente) condensa toda a informação relevante contida na amostra para estimar o parâmetro populacional — nenhuma outra estatística calculada a partir da mesma amostra acrescenta informação adicional sobre o parâmetro. As demais alternativas invertem ou distorcem os conceitos de eficiência, robustez, viés e consistência.

As propriedades desejáveis de um estimador formam um conjunto clássico cobrado em provas de Estatística. Vamos a cada uma:

• Não viés (não tendenciosidade): a esperança do estimador é igual ao parâmetro populacional, $E(\hat{\theta}) = \theta$. O viés é a diferença $b(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta$; quando o viés é nulo, o estimador não superestima nem subestima sistematicamente o parâmetro.

• Eficiência: entre os estimadores não viesados, é eficiente aquele que apresenta a menor variância possível (variância mínima). A eficiência relativa entre dois estimadores não viesados é a razão inversa de suas variâncias.

• Consistência: à medida que o tamanho amostral $n$ cresce (tende ao infinito), a variância do estimador tende a zero e a estimativa converge em probabilidade para o valor do parâmetro.

• Suficiência: a estatística $T(x)$ é suficiente para o parâmetro $\theta$ se nenhuma outra estatística calculada a partir da mesma amostra fornecer informação adicional sobre $\theta$ — ou seja, ela captura toda a informação relevante da amostra.

• Robustez: é a propriedade oposta à descrita na alternativa B: um estimador robusto é pouco sensível a desvios ou violações dos pressupostos do modelo.

A banca FGV explora exatamente a inversão de cada conceito: troca "menor variância" por "maior variância", "pouco sensível" por "mais sensível", "tende a sobrestimar/subestimar" por "não tende", e "aumento do tamanho amostral" por "redução". A única alternativa que mantém o conceito correto é a D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A eficiência é característica da menor variância possível entre os estimadores não viesados, não da maior. O estimador eficiente é aquele que, dentre todos os não viesados, possui variância mínima — a média amostral, por exemplo, é o estimador de variância mínima para a média populacional. A alternativa inverte o sentido: "maior variância" é justamente o oposto do que se busca.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Robustez ocorre quando o estimador é pouco sensível (não "mais sensível") a desvios ou violações dos pressupostos do modelo. Um estimador robusto mantém boas propriedades mesmo quando o modelo teórico é levemente violado (por exemplo, presença de outliers ou não normalidade). A alternativa troca o adjetivo: "mais sensível" descreve um estimador frágil, não robusto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O viés surge quando o estimador, em média, tende a sobrestimar ou subestimar sistematicamente o parâmetro — ou seja, quando $E(\hat{\theta}) \neq \theta$. A alternativa diz exatamente o contrário: "não tende a sobrestimar ou subestimar" é a definição de estimador não viesado. Há uma dupla inversão: o viés é a presença de tendência sistemática, não a ausência dela.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A suficiência é caracterizada quando o estimador (estatística suficiente) contém toda a informação relevante da amostra para estimar o parâmetro. Formalmente, $T(x)$ é suficiente para $\theta$ se nenhuma outra estatística calculada a partir da mesma amostra fornecer informação adicional sobre $\theta$. A alternativa espelha exatamente essa definição: "há toda a informação relevante contida na amostra para se estimar o parâmetro".

Alternativa E — ❌ Incorreta

A consistência é observada à medida que o tamanho amostral aumenta (tende ao infinito), e não se reduz. Com o crescimento de $n$, a variância do estimador tende a zero e a estimativa converge em probabilidade para o valor do parâmetro. A alternativa inverte a direção: "tamanho amostral se reduz" é o oposto do que define um estimador consistente.

Gabarito: letra D