Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2024

Regressão linear simples: estimadores de mínimos quadrados

Gabarito: letra A. No modelo de regressão linear simples $Y_i = \alpha + \beta X_i + \varepsilon_i$, o estimador de mínimos quadrados de $\beta$ é dado pela razão entre a covariância amostral de $X$ e $Y$ e a variância amostral de $X$: $\hat{\beta} = \dfrac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$. As demais alternativas invertem essa fórmula ou trocam os papéis dos coeficientes (intercepto × inclinação).

A regressão linear simples modela a relação entre uma variável dependente $Y$ e uma variável independente $X$ por uma reta. O método dos mínimos quadrados escolhe os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, ou seja, das diferenças entre os valores observados $Y_i$ e os valores ajustados $\hat{Y}_i = \hat{\alpha} + \hat{\beta} X_i$. O coeficiente angular $\beta$ mede a variação esperada em $Y$ para cada aumento de uma unidade em $X$; o intercepto $\alpha$ é o valor esperado de $Y$ quando $X = 0$.

A fórmula do estimador de $\beta$ pode ser escrita de várias formas equivalentes, todas envolvendo a covariância entre $X$ e $Y$ e a variância de $X$ (ou a soma de quadrados de $X$):

Já o estimador do intercepto é obtido pela relação $\hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta} \bar{X}$, que garante que a reta ajustada passe pelo ponto das médias $(\bar{X}, \bar{Y})$.

A pegadinha central da questão é a troca de papéis: a banca coloca a variância de $Y$ no denominador (alternativa B), inverte a fórmula do intercepto (alternativa C) e inverte as interpretações geométricas de $\alpha$ e $\beta$ (alternativas D e E).

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Exatamente a definição do estimador de mínimos quadrados para o coeficiente angular: $\hat{\beta} = \dfrac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$. A covariância mede a associação linear entre as duas variáveis, e a divisão pela variância de $X$ normaliza essa associação pela dispersão da variável explicativa. É a fórmula clássica que aparece em qualquer livro de estatística.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Troca o denominador: usa a variância de $Y$ em vez da variância de $X$. A fórmula correta divide pela variância da variável independente (explicativa), não da dependente. Essa troca é um distrator clássico — o candidato que decora a fórmula sem entender o papel de cada variável cai nela.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Inverte a operação. O correto é $\hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta} \bar{X}$ (média de $Y$ menos o produto do coeficiente angular pela média de $X$). A alternativa afirma que é a média de $Y$ somada a esse produto — o que daria um intercepto maior do que o correto, deslocando a reta para cima sem sentido.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Atribui a $\alpha$ o papel de coeficiente angular. Na equação da reta $Y = \alpha + \beta X$, quem mede a inclinação (coeficiente angular) é $\beta$; $\alpha$ é o intercepto, o valor de $Y$ quando $X = 0$. A banca inverte os papéis geométricos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Atribui a $\beta$ o papel de coeficiente linear (intercepto). É o oposto do que ocorre: $\beta$ é o coeficiente angular (inclinação), e $\alpha$ é o intercepto. Novamente a inversão dos papéis, agora no sentido contrário ao da alternativa D.

Gabarito: letra A