Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Distribuições de probabilidade e simetria

Gabarito: letra D. A distribuição gaussiana (normal) é a única entre as listadas que é necessariamente simétrica em torno de sua média, pois sua função densidade de probabilidade é uma função par em relação a $\mu$ — ou seja, $f(\mu + x) = f(\mu - x)$ para todo $x$. As demais (Beta, Gama, Pareto e Log-Normal) são assimétricas em geral, embora possam se tornar simétricas em casos particulares (como a Beta com parâmetros iguais).

A simetria de uma distribuição significa que a curva de densidade é espelhada em relação a um eixo vertical central, de modo que média, mediana e moda coincidem nesse ponto. A distribuição normal, também chamada de distribuição de Gauss ou gaussiana, é o exemplo clássico: sua densidade é dada por $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$, que depende de $(x-\mu)^2$, garantindo a simetria em torno de $\mu$. Essa propriedade é fundamental para o Teorema Central do Limite e para a construção de intervalos de confiança e testes de hipóteses.

A banca explora a confusão entre "distribuição que pode ser simétrica em alguns casos" e "distribuição que é necessariamente simétrica". A Beta, por exemplo, é simétrica quando $\alpha = \beta$, mas assimétrica caso contrário. A Gama, a Pareto e a Log-Normal são sempre assimétricas (com cauda à direita, ou seja, assimetria positiva). Portanto, a única que possui dados necessariamente simétricos é a gaussiana.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A distribuição Beta não é necessariamente simétrica. Ela é definida no intervalo $[0,1]$ com dois parâmetros de forma, $\alpha$ e $\beta$. A simetria ocorre apenas quando $\alpha = \beta$; caso contrário, a densidade é assimétrica (por exemplo, com $\alpha < \beta$, a curva pende para a esquerda). Como a questão pede "necessariamente simétrica", a Beta não se qualifica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A distribuição Gama é sempre assimétrica (com assimetria positiva, cauda à direita). Ela é definida para valores positivos e sua densidade depende de parâmetros de forma e escala. Não há configuração de parâmetros que a torne simétrica, pois seu suporte é $x > 0$ e a densidade tende a zero quando $x \to 0$ (para forma > 1), o que impede a simetria em torno de um ponto central.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distribuição de Pareto é fortemente assimétrica, com cauda longa à direita. Ela modela fenômenos como distribuição de renda e tamanhos de cidades, onde a maioria dos valores é pequena e poucos são extremamente grandes. Não há parâmetros que a tornem simétrica.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distribuição gaussiana (normal) é necessariamente simétrica em torno de sua média $\mu$. Sua função densidade é uma curva em sino, perfeitamente espelhada: a área à esquerda de $\mu$ é igual à área à direita (0,5 cada), e média, mediana e moda coincidem. Essa simetria é uma propriedade estrutural da distribuição, independente dos valores de $\mu$ e $\sigma$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A distribuição Log-Normal é sempre assimétrica (positiva, cauda à direita). Ela é obtida pela exponencial de uma variável normal: se $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$, então $X = e^Y$ tem distribuição log-normal. Como a exponencial "estica" os valores grandes, a distribuição resultante é assimétrica, mesmo que a normal subjacente seja simétrica.

Gabarito: letra D