Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg097936

GabaritoB — a distribuição Exponencial pode ser vista como um caso particular da distribuição Gama;

Relações entre distribuições de probabilidade

Gabarito: letra B. A distribuição Exponencial é um caso particular da distribuição Gama: quando o parâmetro de forma da Gama é igual a 1, a densidade da Gama se reduz à da Exponencial. As demais alternativas invertem ou distorcem as relações reais — a banca explora justamente a confusão entre qual distribuição é o caso geral e qual é o caso particular.

Para resolver com segurança, é preciso dominar as hierarquias entre as principais distribuições. A distribuição Gama é uma família contínua com dois parâmetros: forma ( $\alpha$ ) e taxa ( $\lambda$ ). Quando $\alpha = 1$ , a função densidade da Gama se torna $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ , que é exatamente a densidade da Exponencial com parâmetro $\lambda$ . Por isso, a Exponencial é um caso particular da Gama — e não o contrário. Essa relação é análoga a outras hierarquias clássicas: a Bernoulli é caso particular da Binomial (quando $n = 1$ ), a Normal Padrão é caso particular da Normal (quando $\mu = 0$ e $\sigma^2 = 1$ ), e a Exponencial também é caso particular da Weibull (quando o parâmetro de forma da Weibull é 1).

A pegadinha central é a inversão da relação de generalidade: o candidato que decora as relações sem entender a estrutura dos parâmetros tende a marcar a alternativa A (Weibull como caso particular da Exponencial) ou a D (Binomial como caso particular de Bernoulli), quando na verdade a relação é exatamente a oposta. Vamos analisar cada alternativa.

Relações entre distribuições

1Caso particular (geral → particular)
- Gama (forma 1) → Exponencial
- Weibull (forma 1) → Exponencial
- Binomial (n=1) → Bernoulli
- Normal (μ=0, σ²=1) → Normal Padrão
- Gama (forma k/2, taxa 1/2) → Qui-quadrado
2Inversões (pegadinha)
- Weibull como caso da Exponencial
- Binomial como caso da Bernoulli
- Normal como caso da Normal Padrão

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Relação (caso particular → caso geral)	Condição que reduz o caso geral ao particular	Exemplo de parâmetros
Exponencial → Gama	Parâmetro de forma da Gama = 1	Gama(α=1, λ) = Exponencial(λ)
Exponencial → Weibull	Parâmetro de forma da Weibull = 1	Weibull(k=1, λ) = Exponencial(λ)
Bernoulli → Binomial	Número de tentativas = 1	Binomial(n=1, p) = Bernoulli(p)
Normal Padrão → Normal	Média = 0 e variância = 1	Normal(μ=0, σ²=1) = Normal Padrão
Qui-quadrado → Gama	Forma = k/2 e taxa = 1/2	Gama(α=k/2, λ=1/2) = χ²(k)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a Weibull pode ser vista como caso particular da Exponencial. A relação real é a inversa: a Exponencial é que é caso particular da Weibull. A Weibull tem dois parâmetros (forma $k$ e escala $\lambda$ ); quando $k = 1$ , a Weibull se reduz à Exponencial com parâmetro $\lambda$ . Ou seja, a Exponencial é um caso particular da Weibull, não o contrário. A banca inverteu a hierarquia.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A Exponencial é, de fato, um caso particular da Gama. A Gama tem parâmetro de forma $\alpha$ e taxa $\lambda$ ; quando $\alpha = 1$ , a densidade da Gama se torna $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ , que é a densidade da Exponencial com parâmetro $\lambda$ . Portanto, a afirmação está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a Triangular pode ser vista como caso particular da Uniforme. Isso não procede: a Triangular é uma distribuição com densidade em forma de triângulo, definida por três parâmetros (mínimo, moda e máximo), enquanto a Uniforme tem densidade constante em um intervalo. Não há relação de caso particular entre elas — são distribuições distintas. A banca tenta confundir por ambas serem contínuas e definidas em intervalos, mas a forma da densidade é completamente diferente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a Binomial pode ser vista como caso particular da Bernoulli. A relação real é a inversa: a Bernoulli é que é caso particular da Binomial, quando o número de tentativas $n = 1$ . A Binomial generaliza a Bernoulli para $n$ tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso $p$ . Portanto, a alternativa inverte a hierarquia.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a Normal pode ser vista como caso particular da Normal Padrão. A relação real é a inversa: a Normal Padrão é que é caso particular da Normal, quando a média $\mu = 0$ e a variância $\sigma^2 = 1$ . A Normal Padrão é uma Normal com parâmetros específicos, não o contrário. A banca inverte a relação de generalidade.

NÃO CAIA NESSA!

A banca adora inverter as relações de hierarquia entre distribuições. Nas alternativas A, D e E, ela troca o caso geral pelo particular: Weibull não é caso da Exponencial (é o contrário), Binomial não é caso da Bernoulli (é o contrário), e Normal não é caso da Normal Padrão (é o contrário). Fique atento: a distribuição com mais parâmetros é a geral; a com menos parâmetros (ou com valores fixos) é a particular. Com treino, você enxerga essas inversões de longe 💪

PEGA ESSA DICA!

Para não errar, memorize as principais relações de caso particular:

Exponencial = Gama com forma 1
Exponencial = Weibull com forma 1
Bernoulli = Binomial com n = 1
Normal Padrão = Normal com μ = 0 e σ² = 1
Qui-quadrado = Gama com forma k/2 e taxa 1/2
t de Student = razão entre Normal Padrão e raiz de Qui-quadrado/gl
F = razão entre duas Qui-quadrado independentes divididas pelos gl

Gabarito: letra B