Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2024

Probabilidade Geométrica: Encontro de Duas Pessoas

Gabarito: letra D (25,0%). A probabilidade de que o tempo de espera seja de mais de meia hora é de 25%, pois, modelando os horários de chegada como duas variáveis uniformes independentes no intervalo de 1 hora, a região do quadrado unitário em que a diferença entre elas supera 0,5 hora corresponde a dois triângulos retângulos de área 1/8 cada, totalizando 1/4 da área total. Essa é uma aplicação clássica de probabilidade geométrica com distribuição uniforme contínua.

O problema envolve duas pessoas que chegam independentemente em instantes uniformemente distribuídos entre 21h e 22h. Podemos representar os horários de chegada (em horas após 21h) como duas variáveis aleatórias independentes $X$ e $Y$, ambas com distribuição uniforme contínua no intervalo $[0,1]$. O par $(X,Y)$ é, portanto, um ponto uniformemente distribuído no quadrado unitário $[0,1] \times [0,1]$, cuja área total é 1.

O tempo de espera é a diferença absoluta $|X - Y|$. Queremos a probabilidade de que essa diferença seja maior que 0,5 hora (mais de meia hora). Geometricamente, isso corresponde à região do quadrado onde $|X - Y| > 0,5$, ou seja, onde $X - Y > 0,5$ ou $Y - X > 0,5$. Essa região é formada por dois triângulos retângulos isósceles, cada um com catetos de comprimento 0,5. A área de cada triângulo é $\frac{0,5 \times 0,5}{2} = 0,125$. A área total da região é $2 \times 0,125 = 0,25$. Como a área total do quadrado é 1, a probabilidade é $0,25 = 25\%$.

A pegadinha clássica é calcular a probabilidade de a espera ser menor que meia hora (que seria 75%) ou confundir a diferença absoluta com a diferença simples (que daria 50% para cada lado, mas não é o que se pede). Outra armadilha é tentar usar a distribuição exponencial, que não se aplica aqui, pois os tempos de chegada são uniformes, não exponenciais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

10,0% não corresponde a nenhuma área relevante do quadrado. Esse valor poderia surgir de um cálculo equivocado, como considerar apenas um dos triângulos (12,5%) e ainda arredondar para baixo, ou de uma confusão com outra distribuição. Não há fundamento geométrico para 10%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

12,5% é exatamente a área de um dos dois triângulos que compõem a região desejada. O candidato que calcula apenas $X - Y > 0,5$ (ou apenas $Y - X > 0,5$) e esquece de somar o outro triângulo chega a 12,5%. É o erro mais comum: a diferença absoluta exige considerar ambos os casos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

15,0% não tem correspondência direta com a geometria do problema. Poderia ser um valor aproximado de um cálculo incorreto, como usar 0,3 em vez de 0,5, ou uma confusão com outra distribuição. Não há base para 15%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

25,0% é a resposta correta. A região $|X - Y| > 0,5$ no quadrado unitário é composta por dois triângulos retângulos de área 0,125 cada, totalizando 0,25. Como a distribuição conjunta é uniforme, a probabilidade é a razão entre a área da região e a área total do quadrado: $\frac{0,25}{1} = 0,25 = 25\%$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

33,3% é um valor que não corresponde à área calculada. Poderia surgir de uma confusão com a probabilidade de uma das pessoas chegar antes da outra (que é 50%) ou de um cálculo incorreto da área dos triângulos. Não há fundamento para 33,3%.

Gabarito: letra D