Questão de Estatística — Distribuição Binomial — FGV 2024

Variância da Distribuição Binomial

Gabarito: letra B. A variância de uma distribuição binomial é dada por $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$. Com $n = 100$ ensaios, o valor máximo ocorre quando $p = 0{,}5$, resultando em $Var(X) = 100 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 25$.

A distribuição binomial modela o número de sucessos em $n$ ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso $p$. A variância mede a dispersão dos possíveis resultados em torno da média $\mu = np$. A fórmula da variância é $\sigma^2 = npq$, onde $q = 1-p$.

Para maximizar a variância, precisamos maximizar o produto $p(1-p)$. Esse produto é uma parábola com concavidade para baixo, atingindo seu máximo quando $p = 0{,}5$. Nesse ponto, $p(1-p) = 0{,}25$. Portanto, com $n = 100$, a variância máxima é $100 \times 0{,}25 = 25$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 5 seria obtido se $p(1-p) = 0{,}05$, o que não corresponde a nenhum valor de $p$ no intervalo $[0,1]$ (o mínimo de $p(1-p)$ é 0 e o máximo é 0,25). Não há como a variância ser 5 com $n=100$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Com $p = 0{,}5$, temos $Var(X) = 100 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 25$. Este é o valor máximo possível, pois $p(1-p) \leq 0{,}25$ para qualquer $p$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 50 seria obtido se $p(1-p) = 0{,}5$, o que é impossível, pois o máximo de $p(1-p)$ é 0,25. Portanto, a variância nunca chega a 50.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 100 seria obtido se $p(1-p) = 1$, o que é impossível. Esse número corresponde ao total de ensaios $n$, não à variância máxima.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 200 é o dobro de $n$, sem relação com a variância. Não há como a variância exceder $n/4 = 25$.

Gabarito: letra B