Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2024

Distribuição Binomial Negativa: variância

Gabarito: letra B. A variância de uma distribuição binomial negativa que conta o número de ensaios até a obtenção de $k$ sucessos é dada por $\frac{k(1-p)}{p^2}$. Com $k=100$ e $p=0,50$, temos $\frac{100 \times 0,50}{0,25} = 200$.

A distribuição binomial negativa modela o número de tentativas (ensaios de Bernoulli) necessárias para se obter um número fixo $k$ de sucessos, com probabilidade de sucesso $p$ em cada tentativa. É uma generalização da distribuição geométrica (que é o caso particular $k=1$).

As fórmulas de média e variância são:

• Média: $E(X) = \frac{k}{p}$

• Variância: $Var(X) = \frac{k(1-p)}{p^2}$

Substituindo os valores do enunciado ($k=100$, $p=0,50$):

A pegadinha clássica é confundir com a distribuição binomial comum, cuja variância é $np(1-p)$. Para $n=100$ e $p=0,5$, isso daria $100 \times 0,5 \times 0,5 = 25$, que não aparece nas alternativas — mas o candidato desatento pode tentar aplicar essa fórmula e se perder. Outra confusão possível é usar a variância da geométrica ($\frac{1-p}{p^2}$) e multiplicar por algo errado.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 100 corresponde a $k$ (o número de sucessos), não à variância. É um distrator que usa o parâmetro diretamente, sem aplicar a fórmula.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando corretamente a fórmula da variância da binomial negativa: $Var(X) = \frac{k(1-p)}{p^2} = \frac{100 \times 0,5}{0,25} = 200$. É o resultado exato do cálculo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 400 seria obtido se alguém calculasse $\frac{k}{p^2} = \frac{100}{0,25} = 400$, esquecendo do fator $(1-p)$. É um erro comum de omitir o complemento da probabilidade de sucesso.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 40.000 não corresponde a nenhuma operação direta com os parâmetros. Pode surgir de $k^2 \times (1-p) = 10000 \times 0,5 = 5000$ ou de outra combinação equivocada, mas não tem relação com a fórmula correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 160.000 também não tem relação com a fórmula. Poderia vir de $k^2 \times (1-p)^2 = 10000 \times 0,25 = 2500$ ou de outra manipulação incorreta, mas não corresponde à variância.

Gabarito: letra B.