Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2024

Distribuição de Poisson: esperança e variância

Gabarito: letra E. Na distribuição de Poisson, a média e a variância são iguais ao parâmetro $\lambda$. Como o enunciado informa que o valor esperado é 1, temos $\lambda = 1$ e, portanto, a variância também é 1,00.

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo (de tempo, área, volume etc.), quando as ocorrências são aleatórias, independentes e uniformemente distribuídas. É amplamente usada para descrever eventos raros, como chegadas de clientes, decaimento radioativo ou erros tipográficos.

A propriedade central que a questão explora é a equidispersão: na Poisson, $E(X) = Var(X) = \lambda$. Isso a distingue de outras distribuições, como a binomial, em que a variância é $np(1-p)$, ou a exponencial, em que a variância é $1/\lambda^2$. A banca cobra exatamente esse fato: quem não lembra que média e variância coincidem pode tentar calcular algo como $\lambda/2$ ou $\lambda^2$, caindo nos distratores.

A razão teórica para essa igualdade vem da aproximação da Poisson pela binomial quando $n$ é grande e $p$ é pequeno, com $\lambda = np$: a variância binomial é $np(1-p) \approx np = \lambda$ quando $p \to 0$. Assim, tanto a esperança quanto a variância convergem para o mesmo parâmetro.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,00 não corresponde a nenhuma característica da Poisson. A variância é sempre positiva (igual a $\lambda$), a menos que $\lambda = 0$, o que não é o caso aqui. Esse distrator pode confundir quem pensa que a variância é nula por se tratar de um evento "raro", mas a dispersão é justamente medida pelo parâmetro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,25 seria a variância se $\lambda = 0,25$, mas o enunciado fixa $\lambda = 1$. Esse valor não tem relação com a Poisson de parâmetro 1; pode ser um resquício de quem confunde com a variância de uma distribuição uniforme no intervalo $[0,1]$, que é $1/12 \approx 0,083$, ou com a variância de uma Bernoulli com $p=0,5$, que é $0,25$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,50 não corresponde a nenhuma medida da Poisson com $\lambda = 1$. Talvez o candidato tenha pensado em $\lambda/2$, mas não há essa relação. A variância é exatamente $\lambda$, não uma fração dele.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,75 também não é a variância. Novamente, não há base teórica para esse valor. A tentação de "inventar" uma fração de $\lambda$ é comum, mas a propriedade é rígida: $Var(X) = \lambda$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como $E(X) = \lambda = 1$, a variância é $Var(X) = \lambda = 1$. Portanto, o valor da variância é 1,00. Essa é a propriedade de equidispersão da distribuição de Poisson, que a distingue de outras distribuições discretas, como a binomial, em que a variância é $np(1-p)$.

Gabarito: letra E