Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg097941

Distribuição Exponencial: esperança do quadrado

Gabarito: letra C. Para uma variável com distribuição exponencial de parâmetro $\lambda$ , a esperança é $E(X) = 1/\lambda$ e a variância é $V(X) = 1/\lambda^2$ . Como o valor esperado é 0,5, temos $\lambda = 2$ . O segundo momento é $E(X^2) = V(X) + [E(X)]^2 = 1/\lambda^2 + (1/\lambda)^2 = 2/\lambda^2 = 2/4 = 0,5$ .

A distribuição exponencial é uma das distribuições contínuas mais cobradas em concursos, especialmente por suas propriedades de falta de memória e pela simplicidade de seus momentos. O ponto central desta questão é relacionar o valor esperado fornecido com o parâmetro $\lambda$ e, em seguida, usar a relação entre variância, esperança e segundo momento.

A relação fundamental é:

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \quad \Rightarrow \quad E(X^2) = V(X) + [E(X)]^2

Para a exponencial, temos $E(X) = 1/\lambda$ e $V(X) = 1/\lambda^2$ . Assim, $E(X^2) = 1/\lambda^2 + (1/\lambda)^2 = 2/\lambda^2$ .

Como o enunciado informa $E(X) = 0,5$ , então $1/\lambda = 0,5$ , logo $\lambda = 2$ . Substituindo:

E(X^2) = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = 0,5

Portanto, a esperança do quadrado é 0,50.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,00 não corresponde a nenhum momento da distribuição exponencial com média 0,5. O segundo momento é sempre positivo, pois $E(X^2) > 0$ para qualquer variável não degenerada. Esse valor seria plausível apenas se a variável fosse constante e igual a zero, o que não é o caso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,25 é o quadrado da esperança, $[E(X)]^2 = (0,5)^2 = 0,25$ . A banca tenta confundir o candidato que calcula apenas o quadrado da média, esquecendo de somar a variância. O segundo momento é a soma da variância com o quadrado da média, não apenas o quadrado da média.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $E(X^2) = 2/\lambda^2 = 2/4 = 0,50$ . Este é o valor correto, obtido pela aplicação direta da fórmula do segundo momento para a exponencial.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,75 não tem relação com os momentos da exponencial com média 0,5. Poderia surgir de um erro de cálculo, como somar 0,25 (quadrado da média) com 0,5 (valor esperado) em vez de somar a variância (0,25).

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 1,00 seria o segundo momento se $\lambda = \sqrt{2}$ , o que não corresponde à média 0,5. Também poderia ser confundido com a variância de uma exponencial com $\lambda = 1$ , mas aqui $\lambda = 2$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre $E(X^2)$ e $[E(X)]^2$ . O candidato apressado calcula $0,5^2 = 0,25$ (alternativa B) e esquece que o segundo momento inclui a variância. Lembre-se sempre: $E(X^2) = V(X) + [E(X)]^2$ .

PEGA ESSA DICA!

Para a exponencial, decore os dois momentos: $E(X) = 1/\lambda$ e $E(X^2) = 2/\lambda^2$ . Se a questão der a média, encontre $\lambda$ e aplique direto. Treine também a relação com a variância, pois é um clássico em provas.

Gabarito: letra C.