Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2024

Teste de significância conjunta em regressão linear múltipla

Gabarito: letra D. Para testar a significância de um conjunto de parâmetros (ou seja, se pelo menos um coeficiente é diferente de zero) em um modelo de regressão linear múltipla, utiliza-se o teste F de Fisher-Snedecor, que compara a variância explicada pelo modelo com a variância residual por meio da análise de variância (ANOVA). Esse é o teste global do modelo, distinto do teste t, que avalia a significância individual de cada coeficiente.

Na regressão linear múltipla, o pesquisador frequentemente quer saber se o modelo como um todo é útil — isto é, se as variáveis explicativas, em conjunto, têm poder de explicação sobre a variável dependente. A hipótese nula do teste F é que todos os coeficientes angulares são simultaneamente iguais a zero ($H_0: \beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_k = 0$), contra a alternativa de que pelo menos um deles é diferente de zero. A estatística de teste é calculada como a razão entre o quadrado médio da regressão e o quadrado médio do erro:

Essa estatística segue uma distribuição F de Fisher-Snedecor com $k$ graus de liberdade no numerador e $n-k-1$ graus de liberdade no denominador (em que $k$ é o número de variáveis explicativas e $n$ o tamanho da amostra). Se o valor calculado de F for maior que o valor crítico tabelado (ou se o p-valor for menor que o nível de significância), rejeita-se a hipótese nula, concluindo que o modelo é estatisticamente significativo.

A confusão mais comum nesse tema é misturar o teste F (global) com o teste t (individual). Enquanto o F avalia o conjunto de parâmetros, o t testa cada coeficiente separadamente, com estatística $t = \frac{\hat{\beta}_i}{s_{\hat{\beta}_i}}$, seguindo distribuição t de Student. Em modelos com uma única variável explicativa, o teste F e o teste t são equivalentes (o quadrado da estatística t é igual à estatística F), mas em regressão múltipla eles respondem perguntas distintas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O teste de Friedman é um teste não paramétrico utilizado para comparar mais de duas amostras relacionadas (delineamento em blocos completos casualizados). Não tem relação com a significância de parâmetros em regressão linear.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O teste Z da Normal é usado para testar hipóteses sobre médias quando a variância populacional é conhecida ou a amostra é grande (pelo Teorema Central do Limite). Não se aplica ao teste conjunto de coeficientes de regressão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O teste t de Student é utilizado para testar a significância individual de cada coeficiente do modelo de regressão, não a significância conjunta de um conjunto de parâmetros. A banca explora exatamente essa distinção: quem confunde o teste global com o individual marca esta alternativa.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O teste F de Fisher-Snedecor é o procedimento correto para testar a significância conjunta dos parâmetros em regressão linear múltipla. Ele é obtido pela análise de variância (ANOVA) da regressão, comparando a variância explicada pelo modelo com a variância residual. A hipótese nula é que todos os coeficientes angulares são nulos, e a rejeição indica que pelo menos uma variável explicativa é relevante.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O teste Qui-Quadrado de Pearson é utilizado para testes de aderência, independência e homogeneidade em tabelas de contingência, ou para testar a qualidade do ajuste em modelos categóricos. Não é o teste adequado para a significância de parâmetros em regressão linear múltipla.

Gabarito: letra D