Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Teorema Central do Limite e Lei dos Grandes Números

Gabarito: letra E. A Lei dos Grandes Números (LGN) estabelece que a média amostral converge para a média populacional (valor esperado) à medida que o tamanho da amostra aumenta — é exatamente o que a alternativa E afirma. O Teorema Central do Limite (TCL), por sua vez, trata da distribuição da média amostral padronizada, que se aproxima da normal quando a amostra é grande, e não da convergência do valor da média.

A questão cobra a distinção entre dois teoremas-limite fundamentais da probabilidade. O TCL diz que, para uma amostra aleatória de tamanho $n$ suficientemente grande, a distribuição da média amostral padronizada $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ se aproxima da distribuição normal padrão, independentemente da distribuição da população (desde que a variância seja finita). Já a LGN (em sua forma forte) afirma que a média amostral $\bar{X}_n$ converge quase certamente para a média populacional $\mu$ quando $n \to \infty$. Em outras palavras: o TCL descreve a forma da distribuição da média amostral (aproximadamente normal, com variância $\sigma^2/n$), enquanto a LGN garante a consistência do estimador — a média amostral se aproxima do valor verdadeiro.

A pegadinha da banca está em inverter os papéis: atribuir ao TCL a convergência da média (que é da LGN) e à LGN a normalidade (que é do TCL). Além disso, é comum confundir a variância da média amostral (que é $\sigma^2/n$ e diminui com $n$) com a variância da população (que é constante). Vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A variância da média amostral é $\text{Var}(\bar{X}) = \sigma^2/n$, que de fato diminui com o aumento de $n$. Porém, essa é uma consequência direta da fórmula da variância da média amostral, não uma afirmação do TCL. O TCL trata da distribuição da média padronizada, não da variância. Além disso, a alternativa fala em "variância das alturas das árvores" — se for a variância populacional, ela é constante e não diminui; se for a variância da média amostral, o TCL não é a fonte dessa propriedade. Portanto, a afirmação é imprecisa e errada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O TCL afirma que a média amostral padronizada $Z$ segue aproximadamente uma distribuição normal para amostras grandes ($n \geq 30$, em geral), não "independentemente do tamanho da amostra". Para amostras pequenas, a distribuição da média amostral depende da distribuição da população. A alternativa omite a condição de tamanho grande, tornando-a falsa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A média amostral se aproxima da média populacional à medida que $n$ aumenta, conforme a LGN — não se afasta. A alternativa inverte completamente o sentido da convergência, sendo o oposto do que os teoremas afirmam.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A LGN estabelece que a média amostral converge para a média populacional quando $n$ tende ao infinito, mas não que "se igualará" para qualquer tamanho de amostra. A igualdade exata só ocorre no limite (ou em casos triviais). A alternativa ignora a natureza assintótica da convergência, tornando-a falsa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa descreve corretamente a LGN: para uma amostra grande, a média amostral converge para o valor esperado da população (média populacional) conforme o tamanho da amostra aumenta. É a definição da lei forte dos grandes números, que garante a consistência do estimador da média.

Gabarito: letra E.