Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2024

Pressupostos do Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)

Gabarito: letra E. A questão pede o que NÃO é pressuposto do MQO na regressão linear simples. A alternativa E, "erros autocorrelacionados", é justamente a violação de um pressuposto — o MQO exige que os erros sejam não autocorrelacionados (independentes). As demais alternativas (homocedasticidade, erros não enviesados, regressor não estocástico e linearidade no parâmetro) são pressupostos clássicos do modelo.

O método dos mínimos quadrados ordinários é a técnica de estimação que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos. Para que os estimadores tenham propriedades desejáveis (não enviesamento, consistência, eficiência — Teorema de Gauss-Markov), o modelo de regressão linear clássico assume um conjunto de premissas sobre o termo de erro $\varepsilon$ e sobre a relação entre as variáveis. Vamos a cada uma:

1. Linearidade nos parâmetros: o modelo é linear nos coeficientes $\beta_0, \beta_1$, ou seja, $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$. A relação entre $Y$ e $X$ pode ser não linear, mas a relação entre $Y$ e os parâmetros deve ser linear.

2. Erros com média zero: $E(\varepsilon_i) = 0$ — os erros não são enviesados, ou seja, em média o modelo acerta.

3. Homocedasticidade: a variância dos erros é constante, $Var(\varepsilon_i) = \sigma^2$ para todo $i$. Quando isso falha, temos heterocedasticidade.

4. Não autocorrelação dos erros: $Cov(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0$ para $i \neq j$ — os erros são independentes entre si. A autocorrelação (ou correlação serial) é uma violação desse pressuposto, comum em dados de séries temporais.

5. Regressor não estocástico: a variável explicativa $X$ é fixa (não aleatória) ou, se aleatória, independente do termo de erro. Isso garante que $Cov(X, \varepsilon) = 0$.

6. Normalidade dos erros (para inferência): $\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$ — necessária para testes de hipóteses e intervalos de confiança, mas não para a estimação pontual por MQO.

A pegadinha da banca está em inverter o pressuposto: a autocorrelação é um problema que viola o MQO, não um requisito. O candidato que confunde "erros autocorrelacionados" com "erros independentes" cai na armadilha.

Alternativa A — ✅ Correta

A homocedasticidade é um pressuposto do MQO: a variância do erro deve ser constante para todas as observações. Se a variância varia com o nível de $X$, temos heterocedasticidade, que viola o modelo clássico.

Alternativa B — ✅ Correta

"Erros não enviesados" refere-se à média zero dos erros, $E(\varepsilon_i) = 0$. Isso garante que o modelo não tenha viés sistemático — os erros positivos e negativos se compensam em média.

Alternativa C — ✅ Correta

O regressor não estocástico (ou fixo) é um pressuposto clássico: a variável explicativa $X$ é tratada como não aleatória, ou, se aleatória, independente do erro. Isso assegura que $Cov(X, \varepsilon) = 0$, condição necessária para a consistência dos estimadores.

Alternativa D — ✅ Correta

A linearidade nos parâmetros é a essência do modelo de regressão linear: $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$. O modelo é linear nos coeficientes, mesmo que a relação com $X$ seja não linear (ex.: $Y = \beta_0 + \beta_1 X^2 + \varepsilon$).

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa que não é pressuposto — é a violação do pressuposto de independência dos erros. O MQO exige que os erros sejam não autocorrelacionados, ou seja, $Cov(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0$ para $i \neq j$. A autocorrelação (correlação serial) ocorre quando o erro de uma observação depende do erro de outra, típico em séries temporais. Quando presente, os estimadores MQO perdem eficiência e os erros-padrão ficam incorretos, comprometendo a inferência.

Gabarito: letra E — a única que não é pressuposto, pois a autocorrelação é uma violação do modelo.