Partindo-se dos conceitos do Teorema Central do Limite (TCL) e da Lei dos Grandes Números (LGN), é correto afirmar que:
Ao TCL afirma que a soma de variáveis aleatórias independentes com qualquer distribuição e variâncias semelhantes é uma variável com distribuição que se aproxima da distribuição Normal à medida que o tamanho da amostra diminui;
Bo TCL afirma que a média amostral se aproxima da média populacional à medida que o tamanho da amostra se reduz;
Co TCL permite a inferência estatística sobre uma variável aleatória mesmo sem qualquer conhecimento da distribuição de probabilidades da população;
Dpela LGN, o desvio padrão dos resultados da realização da mesma experiência repetidas vezes tende a se aproximar do valor esperado à medida que mais tentativas se sucederem;
Ea LGN não pode ser relacionada com o TCL.
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GabaritoC — o TCL permite a inferência estatística sobre uma variável aleatória mesmo sem qualquer conhecimento da distribuição de probabilidades da população;
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Teorema Central do Limite e Lei dos Grandes Números
Gabarito: letra C. O Teorema Central do Limite (TCL) garante que, para amostras grandes, a distribuição da média amostral (ou da soma de variáveis aleatórias independentes) se aproxima de uma distribuição Normal, independentemente da forma da distribuição da população — desde que a média e a variância sejam finitas. É exatamente isso que permite fazer inferência estatística sobre uma variável aleatória sem conhecer a distribuição de probabilidades da população, como afirma a alternativa C.
O TCL é o alicerce da inferência estatística: ele assegura que, mesmo que a população não seja normal, a distribuição amostral da média tende à normalidade à medida que o tamanho da amostra cresce. Na prática, considera-se que para a aproximação é satisfatória para qualquer distribuição populacional. Já a Lei dos Grandes Números (LGN) afirma que a média amostral converge, em probabilidade (lei fraca) ou quase certamente (lei forte), para a média populacional quando o tamanho da amostra tende ao infinito. São teoremas complementares: a LGN garante a convergência do valor (a média amostral se aproxima da média populacional), enquanto o TCL garante a forma da distribuição (aproximadamente normal).
A banca explora justamente a confusão entre esses dois teoremas e inverte o sentido do tamanho da amostra: as alternativas incorretas afirmam que a aproximação ocorre quando a amostra diminui, quando na verdade é o contrário — a aproximação melhora com o aumento do tamanho da amostra.
Teorema
O que garante
Condição de validade
Relação com o tamanho da amostra
TCL
A distribuição da média amostral se aproxima da Normal
Variáveis independentes, com média e variância finitas
Aproximação melhora com o aumento da amostra
LGN
A média amostral converge para a média populacional
Variáveis independentes e identicamente distribuídas
Convergência ocorre com o aumento da amostra
TCL (inferência)
Permite inferência estatística sem conhecer a distribuição populacional
Amostra grande (n ≥ 30 na prática)
Válido para amostras grandes
LGN (desvio padrão)
O desvio padrão amostral tende ao desvio padrão populacional, não ao valor esperado
O erro está em afirmar que a aproximação à Normal ocorre "à medida que o tamanho da amostra diminui". O TCL estabelece exatamente o oposto: a aproximação melhora à medida que o tamanho da amostra aumenta. Além disso, o TCL não exige que as variáveis tenham "variâncias semelhantes" — exige que as variáveis sejam independentes e que as variâncias sejam finitas (e, na versão mais comum, que as variáveis sejam identicamente distribuídas).
Alternativa B — ❌ Incorreta
Esta alternativa descreve a Lei dos Grandes Números, não o TCL. A LGN afirma que a média amostral converge para a média populacional quando o tamanho da amostra cresce. A alternativa inverte o sentido: diz que a aproximação ocorre "à medida que o tamanho da amostra se reduz", o que é falso — a convergência se dá com o aumento do tamanho da amostra.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Esta é a essência do TCL: ele permite fazer inferência estatística sobre uma variável aleatória mesmo sem conhecer a distribuição de probabilidades da população. Como a distribuição amostral da média tende à Normal para amostras grandes, podemos usar a distribuição Normal para construir intervalos de confiança e testes de hipóteses, independentemente da forma da distribuição original. É por isso que o TCL é considerado o teorema mais importante da inferência estatística.
Alternativa D — ❌ Incorreta
A alternativa confunde conceitos da LGN. A LGN trata da convergência da média amostral para a média populacional (valor esperado), não do desvio padrão. Além disso, o desvio padrão dos resultados não tende ao valor esperado — o que tende ao valor esperado é a média dos resultados. O desvio padrão amostral tende ao desvio padrão populacional, não ao valor esperado. A alternativa mistura os papéis de média e desvio padrão.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A LGN e o TCL estão intimamente relacionados: ambos tratam do comportamento de somas ou médias de muitas variáveis aleatórias independentes. A LGN garante a convergência da média amostral para a média populacional; o TCL descreve a distribuição limite dessa média (aproximadamente Normal). São teoremas complementares e frequentemente usados juntos na inferência estatística.
NÃO CAIA NESSA!
A banca inverte o sentido do tamanho da amostra em duas alternativas (A e B): diz que a aproximação ocorre quando a amostra diminui, quando na verdade é com o aumento que a aproximação melhora. Além disso, troca os papéis dos teoremas: a LGN trata da convergência da média, não do desvio padrão (alternativa D). Fique atento a essas inversões — elas são clássicas em questões sobre TCL e LGN.
NÃO CAIA NESSA!
Para não confundir, lembre-se: LGN = convergência do valor (a média amostral se aproxima da média populacional); TCL = convergência da forma (a distribuição da média amostral se aproxima da Normal). E ambos exigem amostras grandes, nunca pequenas.