Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg097954

Função densidade de probabilidade: normalização

Gabarito: letra A. Para que $f(x) = k/x$ seja uma função densidade de probabilidade no intervalo $[1, e]$ , a integral de $f(x)$ sobre todo o espaço amostral deve ser igual a 1. Resolvendo: $\int_{1}^{e} \frac{k}{x}\,dx = k[\ln x]_{1}^{e} = k(\ln e - \ln 1) = k(1 - 0) = k$ . Igualando a 1, obtemos $k = 1$ .

Uma função densidade de probabilidade (fdp) de uma variável aleatória contínua deve satisfazer duas condições: (1) $f(x) \geq 0$ para todo $x$ ; (2) a área total sob a curva (a integral de $f(x)$ sobre todo o domínio) deve ser igual a 1. Essa segunda condição é chamada de normalização e é a chave para encontrar a constante $k$ .

A função dada é $f(x) = k/x$ para $1 \leq x \leq e$ , e $f(x) = 0$ fora desse intervalo. O domínio é $[1, e]$ , onde $e$ é o número neperiano ( $e \approx 2,718$ ). Como $k$ é uma constante, podemos tirá-la da integral:

\int_{1}^{e} \frac{k}{x}\,dx = k \int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx = k[\ln x]_{1}^{e} = k(\ln e - \ln 1)

Sabemos que $\ln e = 1$ e $\ln 1 = 0$ , então a integral vale $k(1 - 0) = k$ . Para que a área total seja 1, temos $k = 1$ .

A pegadinha aqui é que muitos candidatos tentam integrar $k/x$ sem lembrar que a integral de $1/x$ é $\ln x$ , e podem errar ao avaliar $\ln e$ (que é 1, não 0). Além disso, a banca oferece alternativas que são apenas números inteiros, testando se o candidato sabe que a constante de normalização é exatamente o valor da integral quando $k=1$ .

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $k = 1$ . A integral de $f(x) = 1/x$ de 1 a $e$ é $\ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$ , satisfazendo a condição de normalização. Portanto, a alternativa A é a correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Se $k = 2$ , a integral seria $2 \times 1 = 2$ , o que violaria a condição de que a área total deve ser 1. O valor 2 não corresponde a nenhuma propriedade especial da função; é apenas um distrator.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Se $k = 3$ , a integral seria $3$ , também violando a normalização. Não há justificativa para esse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Se $k = 4$ , a integral seria $4$ , igualmente incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Se $k = 5$ , a integral seria $5$ , também incorreta.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de normalização de fdp, lembre-se sempre de que a integral da função sobre todo o domínio deve ser igual a 1. Isole a constante $k$ e resolva a integral; o valor de $k$ será o inverso da integral da parte que depende de $x$ . Aqui, como $\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx = 1$ , o $k$ é 1. Se o intervalo fosse diferente, o $k$ seria o inverso do resultado da integral.

Gabarito: letra A