No mercado financeiro é comum se chamar de “volatilidade” de um ativo o valor de seu desvio padrão. Suponha que o mercado de renda fixa possa ser representado por uma variável aleatória Normal com retorno esperado de 10% ao ano e volatilidade nula. Suponha também que um determinado ativo de risco possa ser representado por uma variável aleatória Normal com retorno esperado de 15% ao ano e volatilidade igual a 3% ao ano. Considere que Fx é a função de distribuição acumulada da Normal Padrão e que: F₀,₀₀=0,50; F₁,₀₀=0,84; F₁,₆₇=0,95; F₂=0,98; F₂,₃₃=0,99.A probabilidade aproximada de, ao final do ano, a rentabilidade do ativo de risco ser superior à rentabilidade do mercado de renda fixa é de:
A50%;
B84%;
C95%;
D98%;
E99%.
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GabaritoC — 95%;
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Distribuição Normal: combinação linear e probabilidade
Gabarito: letra C (95%). A rentabilidade do ativo de risco supera a do mercado de renda fixa quando a diferença entre elas é positiva. Como ambas seguem distribuições Normais independentes, a diferença também é Normal, com média 15% − 10% = 5% e desvio padrão 3%. Padronizando, o valor crítico é z = (0 − 5%)/3% = −1,67, e a probabilidade de a diferença ser positiva é P(Z > −1,67) = P(Z < 1,67) = 0,95, conforme a tabela fornecida.
A questão explora a propriedade de que a combinação linear de variáveis aleatórias Normais independentes também é Normal. Se X representa a rentabilidade do ativo de risco e Y a do mercado de renda fixa, queremos P(X > Y) = P(X − Y > 0). A variável D = X − Y tem distribuição Normal com:
Média: E(D) = E(X) − E(Y) = 15% − 10% = 5%
Variância: Var(D) = Var(X) + Var(Y) = (3%)² + 0² = 9%² (a volatilidade nula do mercado de renda fixa significa que ele é uma constante, sem variabilidade)
Desvio padrão: σ(D) = 3%
Padronizando, temos Z = (D − 5%)/3%. Queremos P(D > 0) = P(Z > (0 − 5%)/3%) = P(Z > −1,67). Pela simetria da Normal padrão, P(Z > −1,67) = P(Z < 1,67). A tabela fornecida indica F(1,67) = 0,95, que é exatamente a probabilidade procurada.
A pegadinha está em dois pontos: primeiro, muitos candidatos esquecem que a variância da diferença é a soma das variâncias (e não a diferença), embora aqui isso não mude o resultado, pois a volatilidade do mercado de renda fixa é zero. Segundo, a banca fornece valores de F para z positivos, mas o z calculado é negativo; é preciso lembrar da simetria da curva Normal para converter P(Z > −1,67) em P(Z < 1,67).
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que a probabilidade é 50%. Isso seria verdade se as duas rentabilidades tivessem a mesma média, mas o ativo de risco tem retorno esperado 5% maior. A probabilidade de a diferença ser positiva é maior que 50% porque a distribuição de D está centrada em 5%, não em 0.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que a probabilidade é 84%. Esse valor corresponde a F(1,00) = 0,84, que seria a resposta se o z calculado fosse 1,00. No entanto, o z correto é 1,67 (em módulo), pois a diferença de médias é 5% e o desvio padrão é 3%, resultando em 5/3 ≈ 1,67. O candidato que erra o cálculo do z ou usa o valor errado da tabela cai nesta alternativa.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A probabilidade é 95%. O cálculo correto é: D = X − Y ~ N(5%, 3%). P(D > 0) = P(Z > −1,67) = P(Z < 1,67) = F(1,67) = 0,95. A tabela fornecida dá exatamente F(1,67) = 0,95, confirmando a resposta.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que a probabilidade é 98%. Esse valor corresponde a F(2,00) = 0,98, que seria a resposta se o z fosse 2,00. Isso ocorreria se a diferença de médias fosse 6% (6/3 = 2) ou se o desvio padrão fosse 2,5% (5/2,5 = 2). Nenhum desses cenários corresponde aos dados do enunciado.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que a probabilidade é 99%. Esse valor corresponde a F(2,33) = 0,99, que seria a resposta se o z fosse 2,33. Isso exigiria uma diferença de médias de aproximadamente 7% (7/3 ≈ 2,33) ou um desvio padrão menor. O z correto é 1,67, não 2,33.
NÃO CAIA NESSA!
A banca fornece uma tabela com vários valores de F(z) e espera que o candidato identifique o z correto. O erro mais comum é calcular z = (15% − 10%)/3% = 1,67 e, em vez de usar F(1,67) = 0,95, usar F(2,00) = 0,98 ou F(2,33) = 0,99, confundindo os valores. Outra armadilha é esquecer que P(Z > −1,67) = P(Z < 1,67) pela simetria da Normal, levando o candidato a achar que precisa de um valor negativo na tabela, que não é fornecido. Com treino, você identifica rapidamente que a diferença de médias (5%) dividida pelo desvio (3%) dá exatamente 1,67, e a resposta é 95%.