Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2024

Coeficiente de variação e a distribuição exponencial

Gabarito: letra E. A distribuição exponencial é a única entre as listadas cujo coeficiente de variação é sempre igual a 1, pois sua média é $1/\lambda$ e seu desvio-padrão também é $1/\lambda$ — logo, $CV = \frac{DP}{Média} = \frac{1/\lambda}{1/\lambda} = 1$. Essa é uma propriedade característica da exponencial, que a distingue das demais distribuições apresentadas.

O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, definida como a razão entre o desvio-padrão e a média de uma variável aleatória: $CV = \frac{\sigma}{\mu}$. Ele é adimensional e permite comparar a variabilidade de distribuições com médias diferentes. Para cada distribuição de probabilidade, o CV assume um valor que depende dos parâmetros — exceto na exponencial, em que essa razão é constante e igual a 1, independentemente do valor do parâmetro $\lambda$.

A distribuição exponencial é contínua e modela o tempo entre ocorrências de eventos em um processo de Poisson, como o tempo de vida de componentes eletrônicos ou o intervalo entre chegadas em uma fila. Sua função densidade é $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, para $x \geq 0$. A média é $E(X) = 1/\lambda$ e a variância é $Var(X) = 1/\lambda^2$, de modo que o desvio-padrão é $\sqrt{1/\lambda^2} = 1/\lambda$. Assim, o CV é exatamente 1.

A pegadinha da questão está em confundir a exponencial com a Poisson. A distribuição de Poisson é discreta e modela o número de ocorrências em um intervalo fixo; nela, a média e a variância são iguais ao parâmetro $\lambda$, mas o desvio-padrão é $\sqrt{\lambda}$, e o CV é $1/\sqrt{\lambda}$, que só é igual a 1 quando $\lambda = 1$. Portanto, a Poisson não tem CV constante igual a 1 — é a exponencial que possui essa propriedade.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A distribuição normal tem média $\mu$ e desvio-padrão $\sigma$, ambos parâmetros livres. O coeficiente de variação é $\sigma/\mu$, que depende dos valores escolhidos e não é constante — pode ser qualquer número positivo, dependendo da dispersão relativa. Não há nenhuma propriedade que fixe o CV em 1.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Na distribuição de Poisson, a média e a variância são iguais ao parâmetro $\lambda$, mas o desvio-padrão é $\sqrt{\lambda}$. O coeficiente de variação é $1/\sqrt{\lambda}$, que só é igual a 1 quando $\lambda = 1$. Como $\lambda$ pode assumir qualquer valor positivo, o CV não é sempre 1 — é uma função decrescente de $\lambda$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Na distribuição binomial, a média é $np$ e o desvio-padrão é $\sqrt{np(1-p)}$. O coeficiente de variação é $\sqrt{(1-p)/(np)}$, que depende tanto de $n$ quanto de $p$. Não é constante e raramente é igual a 1 — só ocorreria para combinações específicas de parâmetros, não como regra geral.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Na distribuição uniforme contínua no intervalo $[a, b]$, a média é $(a+b)/2$ e o desvio-padrão é $(b-a)/\sqrt{12}$. O coeficiente de variação é $\frac{(b-a)/\sqrt{12}}{(a+b)/2} = \frac{2(b-a)}{\sqrt{12}(a+b)}$, que depende dos limites $a$ e $b$. Não é constante e, em geral, não é igual a 1.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distribuição exponencial tem média $1/\lambda$ e desvio-padrão $1/\lambda$, como visto. Portanto, o coeficiente de variação é sempre $\frac{1/\lambda}{1/\lambda} = 1$, independentemente do valor de $\lambda$. Essa é uma propriedade marcante da exponencial, frequentemente cobrada em provas de Estatística.

Gabarito: letra E.