Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg097957

Aproximação da distribuição Binomial pela Normal

Gabarito: letra E. Quando uma variável Binomial com parâmetros $n$ e $p$ é aproximada por uma Normal, a média é $\mu = np$ e a variância é $\sigma^2 = np(1-p)$ . Com $n = 1.000.000$ e $p = 0,5$ , temos $\mu = 500.000$ e $\sigma^2 = 250.000$ — exatamente o que a alternativa E apresenta.

A distribuição Binomial modela o número de sucessos em $n$ ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso $p$ . Sua média é $E(X) = np$ e sua variância é $Var(X) = np(1-p)$ . Quando $n$ é grande e $p$ não é extremo (próximo de 0 ou de 1), a distribuição Binomial se aproxima de uma distribuição Normal com esses mesmos parâmetros — é o que garante o Teorema Central do Limite, aplicado à soma de variáveis de Bernoulli. No caso, $n = 1.000.000$ é enorme e $p = 0,5$ é o valor central, então a aproximação é excelente.

A pegadinha da questão está em confundir os parâmetros da Binomial com os da Normal padrão. A Normal padrão tem média 0 e variância 1, mas aqui não estamos padronizando — estamos apenas igualando os momentos da Binomial aos da Normal que a aproxima. Por isso, não se pode usar 0,5 como média: a média é o número esperado de sucessos, que é $np = 500.000$ .

1Média: μ = np
2Variância: σ² = np(1−p)
3n = 1.000.000, p = 0,5
4μ = 500.000
5σ² = 250.000

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Critério	Binomial original	Aproximação Normal
Média	$( \mu = np = 500.000 )$	$( \mu = 500.000 )$
Variância	$( \sigma^2 = np(1-p) = 250.000 )$	$( \sigma^2 = 250.000 )$
Desvio-padrão	$( \sigma = \sqrt{250.000} \approx 500 )$	$( \sigma \approx 500 )$
Condição de validade	—	( np > 5 ) e ( n(1-p) > 5 ) (aqui, 500.000 cada)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta média 0,5 e variância 1. A média 0,5 seria a probabilidade $p$ , não a média da distribuição. A variância 1 é a da Normal padrão, que não se aplica aqui. O erro é confundir o parâmetro $p$ com a média e usar a variância da Normal padrão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta média 0,5 e variância 0,5. Novamente, a média 0,5 é o valor de $p$ , não de $np$ . A variância 0,5 não corresponde a nenhum parâmetro relevante — seria $p(1-p) = 0,25$ , mas sem multiplicar por $n$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta média 0,5 e variância 0,25. A variância 0,25 é $p(1-p)$ , mas falta multiplicar por $n$ . A média continua errada, pois é $np$ , não $p$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta média 500.000 e variância 500.000. A média está correta ( $np = 500.000$ ), mas a variância está errada: seria $np(1-p) = 500.000 \times 0,5 = 250.000$ . O distrator troca a variância pela média, ignorando o fator $(1-p)$ .

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta média 500.000 e variância 250.000. Cálculo: $\mu = np = 1.000.000 \times 0,5 = 500.000$ ; $\sigma^2 = np(1-p) = 1.000.000 \times 0,5 \times 0,5 = 250.000$ . É exatamente o que a aproximação pela Normal exige.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os parâmetros da Binomial e os da Normal padrão. Muitos candidatos veem $p = 0,5$ e acham que a média é 0,5, esquecendo que a média é $np$ . Outros calculam a variância como $np$ (500.000), esquecendo o fator $(1-p)$ . Lembre-se: na aproximação, a média é o número esperado de sucessos, não a probabilidade.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de aproximação Binomial→Normal, decore as fórmulas: $\mu = np$ e $\sigma^2 = np(1-p)$ . Se a questão pedir desvio-padrão, tire a raiz da variância. E lembre-se: a condição para boa aproximação é $np > 5$ e $n(1-p) > 5$ (ou mais rigoroso, $> 15$ ). Aqui, $np = 500.000$ e $n(1-p) = 500.000$ , então a aproximação é válida.

Gabarito: letra E