Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Independência de variáveis aleatórias e a função densidade conjunta

Gabarito: letra E. Para duas variáveis aleatórias independentes, a função densidade de probabilidade conjunta é o produto das funções densidade marginais: $f_{XY}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$. Essa é a condição necessária e suficiente para a independência, conforme a teoria de probabilidades.

A independência entre variáveis aleatórias é um conceito central em estatística. Duas variáveis são independentes quando o conhecimento do valor de uma não altera a distribuição de probabilidade da outra. Formalmente, para variáveis contínuas, isso se traduz na fatoração da densidade conjunta em produto das marginais.

A definição formal de independência para variáveis contínuas é:

Definição de independência (variáveis contínuas):

$f_{XY}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$ para todos os valores de $x$ e $y$.

Essa propriedade é a base para todas as outras consequências da independência, como a nulidade da covariância e da correlação. É importante notar que a independência é uma condição mais forte do que a ausência de correlação: se duas variáveis são independentes, então a covariância e a correlação são zero, mas a recíproca não é verdadeira.

A banca explora exatamente essa distinção, apresentando alternativas que são consequências da independência, mas que não são a definição, e uma alternativa que usa a operação errada (soma em vez de produto).

Alternativa A — ❌ Incorreta

A relação $E[X|Y] = E[X]$ e $E[Y|X] = E[Y]$ é uma consequência da independência, mas não é a definição de independência. Se as variáveis são independentes, a esperança condicional de uma dada a outra é igual à esperança incondicional, pois o conhecimento de $Y$ não traz informação sobre $X$. No entanto, a recíproca não é verdadeira: a igualdade das esperanças condicionais não garante a independência. A alternativa apresenta uma propriedade derivada, não a condição que define a independência.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A correlação nula, $\text{correlação}(X,Y) = 0$, é uma consequência da independência, mas não a define. Se $X$ e $Y$ são independentes, então a covariância é zero e, consequentemente, a correlação também é zero. Porém, a recíproca é falsa: duas variáveis podem ter correlação zero e ainda assim serem dependentes (por exemplo, uma relação não linear perfeita). A independência é uma condição mais forte do que a ausência de correlação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A covariância nula, $\text{covariância}(X,Y) = 0$, é outra consequência da independência, mas não a define. Se $X$ e $Y$ são independentes, então $E[XY] = E[X]E[Y]$, o que implica $\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0$. No entanto, a recíproca não é verdadeira: covariância zero não implica independência. A alternativa apresenta uma propriedade derivada, não a condição que define a independência.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A relação $f_{XY}(x,y) = f_X(x) + f_Y(y)$ está errada. A operação correta para variáveis independentes é o produto, não a soma. A soma das densidades marginais não representa a densidade conjunta de variáveis independentes. Essa alternativa é um distrator clássico, que troca a operação de multiplicação pela adição.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A relação $f_{XY}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$ é a definição de independência para variáveis aleatórias contínuas. Se a densidade conjunta pode ser fatorada no produto das densidades marginais, então as variáveis são independentes. Essa é a condição necessária e suficiente, conforme a teoria de probabilidades.

Gabarito: letra E