Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg097959

Probabilidade: distribuição geométrica e valor esperado

Gabarito: letra E. O valor esperado do número mínimo de tentativas consecutivas que torna a probabilidade de o jogador não acertar todos os lances maior que 50% é 7. Isso porque a probabilidade de acertar todos os $n$ lances é $0,9^n$ , e queremos que a probabilidade complementar (não acertar todos) seja maior que 0,5, ou seja, $1 - 0,9^n > 0,5$ , o que ocorre a partir de $n = 7$ .

A questão envolve o conceito de probabilidade de eventos independentes e complementares. Cada lance livre é uma tentativa independente com probabilidade de sucesso $p = 0,9$ (90%). A probabilidade de acertar todos os $n$ lances consecutivos é o produto das probabilidades individuais: $P(\text{todos os } n \text{ acertos}) = 0,9^n$ . O evento complementar — "não acertar todos" — significa que pelo menos um lance é errado, e sua probabilidade é $1 - 0,9^n$ .

O enunciado pede o menor número de tentativas $n$ tal que essa probabilidade complementar seja maior que 50%, ou seja, $1 - 0,9^n > 0,5$ . Resolvendo:

$1 - 0,9^n > 0,5 \Rightarrow 0,9^n < 0,5$
Testando valores: $0,9^6 = 0,531441$ (ainda maior que 0,5), $0,9^7 = 0,4782969$ (menor que 0,5).

Portanto, o menor $n$ que satisfaz a condição é $n = 7$ .

A pegadinha clássica aqui é inverter o evento: o candidato calcula a probabilidade de acertar todos ( $0,9^n$ ) e procura o valor que a torna menor que 50%, esquecendo de usar o complemento. Outra armadilha é confundir "não acertar todos" com "errar todos" — errar todos teria probabilidade $0,1^n$ , que é minúscula e nunca ultrapassaria 50%.

Probabilidade de acerto em lances livres — só Acertar todos: 0,9^n; só Não acertar todos: 1 - 0,9^n; Acertar todos∩Não acertar todos: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Para $n = 3$ : $0,9^3 = 0,729$ , então a probabilidade de não acertar todos é $1 - 0,729 = 0,271$ , que é menor que 50%. O valor 3 está muito abaixo do limiar.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Para $n = 4$ : $0,9^4 = 0,6561$ , probabilidade complementar $= 0,3439$ , ainda menor que 50%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Para $n = 5$ : $0,9^5 = 0,59049$ , probabilidade complementar $= 0,40951$ , menor que 50%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Para $n = 6$ : $0,9^6 = 0,531441$ , probabilidade complementar $= 0,468559$ , ainda menor que 50%. É o valor que mais se aproxima, mas não atinge o requisito.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Para $n = 7$ : $0,9^7 = 0,4782969$ , probabilidade complementar $= 0,5217031$ , que é maior que 50%. Portanto, 7 é o número mínimo de tentativas que satisfaz a condição.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o evento "acertar todos" e o evento "não acertar todos". Muitos candidatos calculam $0,9^n$ e procuram o primeiro valor que fica abaixo de 0,5, esquecendo que o enunciado pede a probabilidade do complemento. Outra troca comum é confundir "não acertar todos" com "errar todos" — este último teria probabilidade $0,1^n$ , que é ínfima e nunca passaria de 50%. Fique atento: a palavra "não" antes de "acertar todos" indica que você deve usar $1 - 0,9^n$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de "número mínimo de tentativas" com probabilidade de sucesso $p$ , monte a inequação $1 - p^n > k$ e teste os valores de $n$ em ordem crescente. Aqui, como $p = 0,9$ , lembre-se que $0,9^n$ decresce lentamente: $0,9^6 \approx 0,53$ e $0,9^7 \approx 0,48$ . Esse tipo de questão é comum em concursos que cobram probabilidade básica — pratique com $p = 0,8$ e $p = 0,95$ para fixar o raciocínio.

Gabarito: letra E