Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg097960

Probabilidade da união: independência × mutuamente excludentes

Gabarito: letra D. A diferença pedida é $P(B)_{ind} - P(B)_{mut} = 0{,}875 - 0{,}7 = 0{,}175$ . No caso de eventos independentes, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ , o que permite isolar $P(B)$ a partir da fórmula da união; no caso de eventos mutuamente excludentes, $P(A \cap B) = 0$ , e a união se reduz à soma das probabilidades.

A questão explora a fórmula da probabilidade da união de dois eventos, que é a base para relacionar $P(A)$ , $P(B)$ e $P(A \cup B)$ :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

A diferença entre os dois cenários está exatamente no termo $P(A \cap B)$ :

Eventos independentes: por definição, a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro, e vale $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .
Eventos mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos): não podem ocorrer simultaneamente, logo $P(A \cap B) = 0$ .

Essa distinção é o coração da questão: a banca quer que o candidato aplique a mesma fórmula da união, mas com tratamentos diferentes para a interseção, e depois calcule a diferença entre os dois resultados.

Resolução passo a passo

1º cenário — eventos independentes:

Substituindo na fórmula da união:

0{,}9 = 0{,}2 + P(B) - 0{,}2 \cdot P(B)

0{,}9 = 0{,}2 + P(B) \cdot (1 - 0{,}2)

0{,}9 = 0{,}2 + 0{,}8 \cdot P(B)

0{,}8 \cdot P(B) = 0{,}7

P(B)_{ind} = \frac{0{,}7}{0{,}8} = 0{,}875

2º cenário — eventos mutuamente excludentes:

Como $P(A \cap B) = 0$ , a união fica:

0{,}9 = 0{,}2 + P(B)

P(B)_{mut} = 0{,}7

Diferença pedida:

P(B)_{ind} - P(B)_{mut} = 0{,}875 - 0{,}7 = 0{,}175

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

Probabilidade da união de dois eventos — só Evento A: 0,2; só Evento B: 0,7; Evento A∩Evento B: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $-0{,}180$ não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Ele é um distrator numérico: não há como a diferença ser negativa, pois $P(B)_{ind} = 0{,}875$ é maior que $P(B)_{mut} = 0{,}7$ . O candidato que marcasse esta opção provavelmente inverteu a ordem da subtração ou cometeu erro na álgebra da independência.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $-0{,}175$ também é negativo e, portanto, impossível, já que a diferença entre os dois valores de $P(B)$ é positiva. É um distrator que explora a mesma confusão da alternativa A, apenas com a magnitude correta (0,175) mas com o sinal trocado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $0{,}000$ indicaria que $P(B)$ é o mesmo nos dois cenários, o que não ocorre. A diferença existe justamente porque a interseção é tratada de formas distintas: na independência, subtrai-se $P(A) \cdot P(B)$ ; na exclusão mútua, subtrai-se zero. O candidato que marcasse esta opção provavelmente não aplicou a fórmula da união corretamente em um dos casos.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(B)_{ind} = 0{,}875$ e $P(B)_{mut} = 0{,}7$ , e a diferença é $0{,}175$ . Este é o único valor que corresponde ao cálculo correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $0{,}180$ é próximo do correto, mas não é o resultado exato. Ele pode surgir de um arredondamento indevido ou de um pequeno erro na resolução da equação da independência (por exemplo, tratar $P(A \cap B)$ como $P(A)$ em vez de $P(A) \cdot P(B)$ ).

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os dois conceitos: muitos candidatos usam $P(A \cap B) = 0$ também no caso de independência, o que levaria a $P(B) = 0{,}7$ nos dois cenários e, consequentemente, à alternativa C. Outros erram ao inverter a ordem da subtração, caindo nas alternativas negativas. A chave é lembrar que independência não é exclusão mútua — na independência, a interseção é o produto das probabilidades; na exclusão, é zero. 💪

PEGA ESSA DICA!

Para questões que pedem a diferença entre dois cenários, organize o cálculo em duas colunas: uma para cada caso, sempre escrevendo a fórmula da união antes de substituir. Isso evita misturar os conceitos e facilita a conferência final. Se o resultado der negativo, desconfie: a diferença entre dois valores de probabilidade (que estão entre 0 e 1) só é negativa se o primeiro for menor que o segundo — aqui, $P(B)_{ind}$ é sempre maior que $P(B)_{mut}$ , pois a interseção subtraída é menor.

Gabarito: letra D