Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FGV 2024

Coeficiente de variação e aumento linear de salários

Gabarito: letra E (25%). O aumento linear de R$ 2,5 mil não altera o desvio padrão (que permanece R$ 1.000), mas soma o mesmo valor à média. Com o novo coeficiente de variação de 0,08, encontramos a nova média: $\mu_{após} = \frac{1000}{0,08} = 12.500$. Como $\mu_{após} = \mu_{antes} + 2.500$, a média antes era R$ 10.000, e o aumento de R$ 2.500 sobre R$ 10.000 corresponde a 25%.

O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, definida como a razão entre o desvio padrão e a média: $CV = \frac{\sigma}{\mu}$. Ele é adimensional e permite comparar a variabilidade de conjuntos com médias diferentes. Quando somamos uma constante $c$ a todos os valores de um conjunto, o desvio padrão não se altera (a dispersão absoluta permanece a mesma), mas a média aumenta em $c$. Por isso, o CV diminui, pois o numerador fica igual e o denominador cresce.

A pegadinha clássica desta questão é esquecer que o desvio padrão não muda com o aumento linear. Muitos candidatos tentam usar o CV original para achar a média antiga diretamente, sem passar pela média nova. O caminho correto é: primeiro, usar o CV após o aumento para achar a média nova; depois, subtrair o valor do aumento para obter a média antiga; por fim, calcular o percentual de aumento.

Vamos aos cálculos passo a passo:

1. Dados: $\sigma = 1.000$ (desvio padrão, que não muda), aumento = R$ 2.500, $CV_{após} = 0,08$.

2. Média após o aumento: $CV_{após} = \frac{\sigma}{\mu_{após}} \Rightarrow 0,08 = \frac{1000}{\mu_{após}} \Rightarrow \mu_{após} = \frac{1000}{0,08} = 12.500$.

3. Média antes do aumento: $\mu_{após} = \mu_{antes} + 2.500 \Rightarrow \mu_{antes} = 12.500 - 2.500 = 10.000$.

4. Percentual de aumento: $\frac{2.500}{10.000} \times 100 = 25\%$.

Portanto, o percentual médio de aumento salarial foi de 25%.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 5% seria obtido se o aumento de R$ 2.500 fosse dividido por uma média de R$ 50.000, o que não corresponde aos dados. Esse distrator surge quando o candidato confunde o percentual com outra razão, como o próprio CV (0,08 = 8%) ou uma divisão incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 10% corresponderia a um aumento de R$ 2.500 sobre uma média de R$ 25.000. Não há base nos dados para essa média. O candidato pode ter usado o CV de forma equivocada, por exemplo, achando que a média após o aumento fosse R$ 25.000.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 15% resultaria de uma média antiga de aproximadamente R$ 16.666,67. Esse número não aparece em nenhuma etapa do cálculo correto. É um distrator puro, sem relação com os dados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 20% seria obtido se a média antiga fosse R$ 12.500. Note que R$ 12.500 é exatamente a média após o aumento, não a média antiga. O candidato que esquece de subtrair o aumento e calcula $\frac{2.500}{12.500} = 20\%$ cai nessa armadilha.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a média antiga é R$ 10.000 e o aumento é R$ 2.500, logo o percentual é $\frac{2.500}{10.000} \times 100 = 25\%$. A alternativa está correta.

Gabarito: letra E.