Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg097963

Probabilidade na Mega-Sena: aposta com 8 números

Gabarito: letra C. A chance de acertar os 6 números sorteados com uma aposta de 8 números é de 1 em 1.787.995, pois o número de combinações possíveis de 6 números dentre os 8 marcados é $C_{8,6} = 28$ , e a probabilidade é $28 / 50.063.860$ , que simplificada resulta em $1 / 1.787.995$ . A base do cálculo é a combinação simples, usada para contar quantos grupos de 6 números podem ser formados a partir dos 8 escolhidos.

A questão explora o conceito de probabilidade com análise combinatória, especificamente a combinação simples. Na Mega-Sena, o espaço amostral é o conjunto de todas as combinações possíveis de 6 números dentre 60, cujo total é $C_{60,6} = 50.063.860$ — exatamente o valor dado no enunciado como a chance de acertar com uma aposta simples (1 em 50.063.860).

Quando o apostador marca 8 números, ele não está fazendo uma única aposta de 6 números, mas sim todas as combinações de 6 números que podem ser formadas com esses 8 números. O número dessas combinações é dado por:

C_{8,6} = \frac{8!}{6! \cdot (8-6)!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28

Assim, a probabilidade de acertar é:

P = \frac{28}{50.063.860} = \frac{1}{1.787.995}

A divisão de 50.063.860 por 28 resulta exatamente em 1.787.995, pois $28 \times 1.787.995 = 50.063.860$ . Portanto, a chance é de 1 em 1.787.995.

A pegadinha da banca está em confundir o apostador que marca 8 números com uma aposta única de 8 números (o que não existe na Mega-Sena) ou em usar arranjo em vez de combinação. A ordem dos números não importa no sorteio, então a combinação é a ferramenta correta.

Probabilidade na Mega-Sena — só Apostas de 6 números: 50.063.860; só Combinações de 8 números: 28; Apostas de 6 números∩Combinações de 8 números: 1/1.787.995

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 40.320 corresponde a $8!$ (fatorial de 8), que é o número de permutações de 8 elementos distintos. Esse número não tem relação com a probabilidade pedida, pois aqui a ordem não importa e estamos escolhendo apenas 6 dos 8 números.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 297.999 não corresponde a nenhum cálculo direto da questão. Pode ser um distrator obtido por uma divisão incorreta ou por uma combinação mal calculada. Não há fundamento combinatório para esse número.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a probabilidade é $28 / 50.063.860$ , que simplificada dá $1 / 1.787.995$ . Esse é o resultado correto da divisão de 50.063.860 por 28.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 6.257.983 é o resultado de dividir 50.063.860 por 8, ou seja, $50.063.860 / 8 = 6.257.982,5$ (aproximadamente). Isso corresponderia a uma aposta com 8 números tratada como se fosse uma única aposta de 8 números, o que não é o caso — na verdade, são 28 combinações de 6 números.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 7.151.980 é o resultado de dividir 50.063.860 por 7, ou seja, $50.063.860 / 7 \approx 7.151.980$ . Esse número não tem relação com o problema, pois não estamos escolhendo 7 números, e sim 6 dentre 8.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de loteria, lembre-se: marcar $k$ números equivale a $C_{k,6}$ apostas de 6 números. A probabilidade é $C_{k,6} / C_{60,6}$ . Sempre use combinação (ordem não importa), nunca arranjo ou permutação. Na prova, se o número de combinações for grande, faça a simplificação da fração antes de dividir — isso evita erros de cálculo e agiliza a resolução.

Gabarito: letra C.