Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2024

Distribuição Binomial e modelagem de pesquisas eleitorais

Gabarito: letra D. A intenção de voto de um eleitor é uma variável dicotômica (vota ou não vota no candidato), e o número de eleitores que declaram intenção de votar em uma amostra de tamanho fixo segue uma distribuição Binomial, independentemente do tamanho da amostra. A distribuição Normal é apenas uma aproximação assintótica válida para amostras grandes, não uma modelagem exata para qualquer número de entrevistados.

A questão explora a distinção entre a distribuição exata de uma contagem de sucessos em uma amostra e a aproximação normal usada em intervalos de confiança. Quando se pergunta a um eleitor se pretende votar em determinado candidato, a resposta é "sim" ou "não" — um experimento de Bernoulli. Se a amostra tem $n$ eleitores independentes e a probabilidade de resposta "sim" é $p$, o número total de respostas "sim" é a soma de $n$ variáveis de Bernoulli independentes, o que define exatamente uma distribuição Binomial com parâmetros $n$ e $p$: $X \sim \text{Binomial}(n, p)$. Essa modelagem vale para qualquer $n$, desde que as suposições de independência e probabilidade constante sejam razoáveis.

A distribuição Normal, por sua vez, é uma aproximação da Binomial quando $n$ é grande (pela Teoria do Limite Central, com correção de continuidade). A margem de erro de 2% e o nível de confiança de 95% divulgados pela pesquisa são construídos a partir dessa aproximação normal, mas isso não torna a Normal a distribuição exata do número de intenções de voto — é apenas uma ferramenta para calcular o intervalo de confiança. O resultado das urnas (25%) estar fora do intervalo divulgado (28% a 32%) não invalida a modelagem Binomial; apenas indica que a estimativa pontual da pesquisa não coincidiu com o resultado real, o que pode ocorrer por erro amostral, mudança de opinião dos eleitores ou outros fatores.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O nível de confiança é uma propriedade do método de estimação, não do resultado observado. A pesquisa divulgou nível de confiança de 95%, e o fato de o resultado real (25%) estar fora do intervalo de confiança não altera esse nível. O nível de confiança é a probabilidade de que o intervalo construído contenha o verdadeiro parâmetro, considerando repetições do processo de amostragem. Um único resultado fora do intervalo não significa que o nível de confiança seja menor.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A margem de erro teórica é calculada a partir do tamanho da amostra, da variabilidade (proporção estimada) e do nível de confiança. O enunciado não fornece o tamanho da amostra, mas a margem de erro divulgada (2%) é a margem teórica da pesquisa. O resultado observado nas urnas (25%) não altera a margem de erro teórica, que é uma característica do plano amostral, não do resultado. Não há informação para afirmar que a margem de erro teórica é maior que a divulgada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distribuição Normal não modela exatamente o número de intenções de voto para qualquer número de entrevistados. A Normal é uma aproximação da Binomial que só é adequada para amostras grandes (em geral, quando $np \geq 5$ e $n(1-p) \geq 5$). Para amostras pequenas, a aproximação normal pode ser pobre, e a modelagem exata é a Binomial. A alternativa erra ao afirmar que a Normal vale "para qualquer número de entrevistados".

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distribuição Binomial é a modelagem exata para o número de eleitores que declaram intenção de votar em um candidato, em uma amostra de tamanho fixo $n$, assumindo que cada eleitor tem a mesma probabilidade $p$ de declarar intenção e que as respostas são independentes. Essa modelagem é válida para qualquer $n$, desde que as suposições sejam satisfeitas. A alternativa está correta ao afirmar que a distribuição de probabilidades pode ser modelada como uma Binomial para qualquer número de entrevistados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Para aumentar a margem de erro de 2% para 5%, mantendo o nível de confiança, o tamanho da amostra deve ser diminuído, mas a relação não é linear. A margem de erro é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra: $E = z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Para reduzir a margem de erro pela metade (de 2% para 1%), seria necessário quadruplicar o tamanho da amostra. Para aumentar a margem de erro de 2% para 5% (aumento de 2,5 vezes), o tamanho da amostra deve ser dividido por $2,5^2 = 6,25$, ou seja, reduzido para aproximadamente 16% do tamanho original — uma redução de cerca de 84%, não de 60%. A alternativa erra o percentual.

Gabarito: letra D