Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg098836

Estimador de máxima verossimilhança do coeficiente angular na regressão linear simples

Gabarito: letra E. No modelo de regressão linear simples $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$ , o estimador de máxima verossimilhança (que coincide com o de mínimos quadrados quando os erros são normais) para o coeficiente angular é $\hat{\beta}_1 = \dfrac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$ . Essa é a fórmula clássica que relaciona a inclinação da reta à covariância entre as variáveis e à variância da variável explicativa.

A questão cobra a fórmula do estimador de $\beta_1$ na regressão linear simples. É essencial distinguir os conceitos envolvidos: a covariância mede a associação linear entre duas variáveis, a variância mede a dispersão de uma variável em torno de sua média, e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. O coeficiente de correlação de Pearson, por sua vez, é a covariância padronizada pelas dispersões: $r = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = \dfrac{Cov(X,Y)}{DP(X)DP(Y)}$ .

A fórmula do estimador de mínimos quadrados (e de máxima verossimilhança sob normalidade) é:

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)}

A pegadinha da banca está em trocar o denominador: em vez de variância de X, colocar o desvio padrão de X (alternativas A e D) ou a correlação (alternativa C). O aluno que confunde variância com desvio padrão cai nas alternativas A ou D; o que confunde a fórmula da correlação com a da regressão cai na C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O denominador está errado: usa o desvio padrão de X, mas a fórmula correta exige a variância de X. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância; se fosse usado, o resultado não seria o coeficiente angular. Essa alternativa confunde a fórmula da regressão com a da correlação, que tem o desvio padrão no denominador.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O numerador está errado: usa a correlação entre X e Y, mas a fórmula correta usa a covariância. A correlação é uma medida adimensional (varia entre -1 e 1), enquanto a covariância tem unidade de medida e é o numerador correto. Essa alternativa mistura conceitos de correlação e regressão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A razão está invertida e usa a correlação no denominador. A fórmula correta é covariância dividida pela variância de X, não pela correlação. A correlação não é uma medida de dispersão e não pode ser denominador nessa expressão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O denominador está errado: usa o desvio padrão de X em vez da variância. É a mesma pegadinha da alternativa A, mas com a covariância correta no numerador. O aluno que lembra da covariância, mas confunde variância com desvio padrão, cai aqui.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A fórmula está correta: $\hat{\beta}_1 = \dfrac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$ . É exatamente a expressão do estimador de mínimos quadrados, que coincide com o de máxima verossimilhança quando os erros seguem distribuição normal. O numerador é a covariância entre X e Y, e o denominador é a variância de X.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre variância e desvio padrão. Lembre-se: a variância é o quadrado do desvio padrão. Na fórmula do coeficiente angular, o denominador é a variância de X. Se a alternativa trouxer "desvio padrão", está errada. Outra pegadinha é trocar covariância por correlação no numerador — a correlação é padronizada e não serve aqui. Com treino, você identifica essas trocas rapidamente 💪

PEGA ESSA DICA!

Para fixar, compare as fórmulas lado a lado:

Medida	Fórmula
Coeficiente angular ( $\hat{\beta}_1$ )	$\dfrac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$
Correlação de Pearson ( $r$ )	$\dfrac{Cov(X,Y)}{DP(X)DP(Y)}$
Covariância	$\dfrac{\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{n-1}$

Na prova, ao ver "coeficiente angular" ou "inclinação", lembre-se: covariância sobre variância. Se aparecer "correlação", é outra fórmula.

Gabarito: letra E