Questão de Estatística — Intervalos de confiança — FGV 2024

Intervalo de confiança para a média com variância conhecida

Gabarito: letra D. Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico da normal padrão é $z = 1,96$ (aproximadamente 2,0). Como a população tem média 1,70 m e desvio padrão 0,1 m, o intervalo que contém 95% da população é dado por $\mu \pm z \cdot \sigma = 1,70 \pm 2 \times 0,1 = [1,50;\, 1,90]$ m. A alternativa D é a única que corresponde exatamente a esse cálculo.

A questão pede o intervalo que contém 95% da população — não de uma amostra. Isso significa que estamos trabalhando com a distribuição dos valores individuais da população, que é normal com média $\mu = 1,70$ e desvio padrão $\sigma = 0,1$. Para encontrar o intervalo que contém 95% dos dados, usamos a regra empírica da distribuição normal: aproximadamente 95% dos valores estão a dois desvios padrão da média. O valor crítico exato para 95% é $z = 1,96$, mas a tabela fornecida mostra que $F_{2,0} = 0,977$, ou seja, $z = 2,0$ corresponde a 97,7% acumulado — o que deixa 2,3% em cada cauda, bem próximo de 2,5%. A banca claramente usa $z = 2,0$ como aproximação.

O intervalo é calculado como:

Portanto, o intervalo é $[1,50;\, 1,90]$ m.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos confundem o intervalo para a população com o intervalo de confiança para a média amostral. Se a questão pedisse o IC para a média de uma amostra de tamanho $n$, usaríamos $\sigma/\sqrt{n}$ no lugar de $\sigma$, o que daria um intervalo muito mais estreito. Mas o enunciado é claro: "intervalo de confiança que contém aproximadamente 95% da população" — ou seja, dos valores individuais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo $[1,65;\, 1,75]$ corresponde a $1,70 \pm 0,05$, ou seja, apenas meio desvio padrão ($0,5 \times 0,1$). Isso cobriria aproximadamente 38% da população, não 95%. É um distrator que usa um valor de $z$ muito pequeno.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo $[1,60;\, 1,80]$ corresponde a $1,70 \pm 0,10$, ou seja, um desvio padrão ($1 \times 0,1$). Isso cobre aproximadamente 68% da população, não 95%. É o intervalo de 1 desvio padrão, que muitos confundem com o de 95%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo $[1,55;\, 1,85]$ corresponde a $1,70 \pm 0,15$, ou seja, 1,5 desvio padrão ($1,5 \times 0,1$). Isso cobre aproximadamente 86,6% da população (pois $F_{1,5} = 0,933$, deixando 6,7% em cada cauda). Não chega a 95%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo $[1,50;\, 1,90]$ corresponde a $1,70 \pm 0,20$, ou seja, 2 desvios padrão ($2 \times 0,1$). Pela tabela, $F_{2,0} = 0,977$, o que significa que 97,7% da população está abaixo de 1,90 m e, por simetria, 2,3% está abaixo de 1,50 m. Portanto, o intervalo $[1,50;\, 1,90]$ contém aproximadamente 95,4% da população — o mais próximo de 95% entre as opções.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo $[1,45;\, 1,95]$ corresponde a $1,70 \pm 0,25$, ou seja, 2,5 desvios padrão ($2,5 \times 0,1$). Isso cobre aproximadamente 98,8% da população (pois $F_{2,5} = 0,994$, deixando 0,6% em cada cauda). É um intervalo largo demais para 95%.

Gabarito: letra D.