Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2024

Estimadores de variância: correção de Bessel e máxima verossimilhança

Gabarito: letra C. O estimador não viesado da variância (com correção de Bessel) divide a soma dos quadrados por $n-1$, enquanto o estimador de máxima verossimilhança divide por $n$. Como o primeiro vale 3 para $n=4$, a soma dos quadrados é $3 \times (4-1) = 9$, e o estimador de MV é $9/4 = 2,25$.

A questão explora a diferença entre dois estimadores clássicos da variância populacional. O estimador não viesado, também chamado de variância amostral corrigida, é dado por $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$. Já o estimador de máxima verossimilhança (MV) da variância, para uma amostra de uma distribuição normal, é $\hat{\sigma}^2_{MV} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$. A diferença está apenas no denominador: $n-1$ versus $n$. Como $n-1 < n$, o estimador de MV é sempre menor (ou igual) que o não viesado, para a mesma amostra.

A pegadinha da banca é justamente inverter os denominadores ou esquecer de aplicar a correção. Muitos candidatos, ao verem o valor 3, simplesmente dividem por $n$ ou fazem contas erradas. O caminho correto é: primeiro, usar o valor dado do estimador não viesado para descobrir a soma dos quadrados; depois, aplicar a fórmula do MV.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 não corresponde a nenhuma operação direta com os dados. Se o aluno dividisse a soma dos quadrados (9) por $n^2$ (16) ou fizesse outra combinação, chegaria a 1, mas não há base estatística para isso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2 seria obtido se o aluno dividisse a soma dos quadrados (9) por um número próximo, como 4,5, ou se confundisse o denominador. Não corresponde a nenhum estimador padrão.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como explicado, o estimador não viesado é $S^2 = \frac{SQ}{n-1} = 3$, logo $SQ = 3 \times (4-1) = 9$. O estimador de MV é $\hat{\sigma}^2_{MV} = \frac{SQ}{n} = \frac{9}{4} = 2,25$. Portanto, a alternativa C está correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 3 é exatamente o valor do estimador não viesado, não do estimador de MV. O aluno que não percebe a diferença entre os denominadores marca esta alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 4 não tem relação com os cálculos. Poderia surgir de uma confusão com o tamanho da amostra ($n=4$) ou com o denominador do estimador não viesado.

Gabarito: letra C.