Questão de Estatística — Distribuição t de student — FGV 2024

Teste de hipóteses para a média: distribuição t de Student vs. distribuição normal

Gabarito: letra B. Com amostra pequena (n = 9) e desvio padrão populacional desconhecido, a distribuição correta é a t de Student com n − 1 = 8 graus de liberdade. O valor crítico t₈;₅% = 2,3 é maior que a estatística observada (2), então Tiago não rejeita H₀. Nelson, usando a normal (Z₅% = 1,96), rejeitaria H₀, pois 2 > 1,96 — conclusão incorreta, pois a aproximação normal não é adequada para amostras pequenas com σ desconhecido.

A questão explora a distinção fundamental entre os testes z e t. Quando o desvio padrão populacional (σ) é desconhecido — como no enunciado —, a estatística de teste não segue distribuição normal, mas sim a distribuição t de Student, com n − 1 graus de liberdade. Isso ocorre porque, ao estimar σ pelo desvio padrão amostral (s), introduz-se variabilidade adicional, que é capturada pela cauda mais pesada da distribuição t. Para amostras pequenas (n < 30), essa diferença é crucial: os valores críticos da t são maiores que os da normal, refletindo a maior incerteza.

Aqui, com n = 9, temos 8 graus de liberdade. O valor crítico fornecido é t₈;₅% = 2,3. Como a estatística observada é 2,0, e 2,0 < 2,3, a estatística não cai na região crítica — portanto, Tiago não rejeita a hipótese nula. Já Nelson, usando a normal, compara 2,0 com Z₅% = 1,96. Como 2,0 > 1,96, ele rejeitaria H₀. Mas essa rejeição é incorreta, pois a aproximação normal não é válida para amostra pequena com σ desconhecido. A conclusão correta é a de Tiago: não rejeitar H₀.

A pegadinha está em comparar diretamente a estatística observada com os dois valores críticos sem considerar qual distribuição é a apropriada. O candidato que apenas vê que 2 > 1,96 e 2 < 2,3 pode marcar a alternativa correta, mas precisa entender o porquê: a normal só seria adequada se σ fosse conhecido ou se n fosse grande (n > 30, pelo Teorema Central do Limite). Como nenhuma das condições se aplica, a t de Student é a escolha certa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que Nelson chegará à conclusão correta e Tiago, à incorreta. É exatamente o oposto: Nelson, ao usar a normal, rejeita H₀ indevidamente (conclusão incorreta), enquanto Tiago, com a t, não rejeita H₀ (conclusão correta). O erro está em considerar a normal como adequada para amostra pequena com σ desconhecido.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Nelson, usando a normal, compara 2,0 com Z₅% = 1,96 e rejeita H₀ — conclusão incorreta, pois a aproximação normal não é válida. Tiago, com a t de Student (t₈;₅% = 2,3), não rejeita H₀, pois 2,0 < 2,3 — conclusão correta. A alternativa espelha exatamente a aplicação correta das duas distribuições.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que ambos chegarão a conclusões corretas. Isso só seria possível se as duas distribuições levassem à mesma decisão, o que não ocorre: Nelson rejeita H₀ (2 > 1,96) e Tiago não rejeita (2 < 2,3). As conclusões são opostas, e apenas a de Tiago é correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que ambos chegarão a conclusões incorretas. Tiago, usando a distribuição correta (t de Student), chega à conclusão correta (não rejeitar H₀). Portanto, a afirmação é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que não há dados suficientes para concluir. Os dados são suficientes: temos o tamanho da amostra (n = 9), o nível de significância (5%) e os valores críticos de ambas as distribuições. A decisão é determinística a partir da comparação da estatística observada com o valor crítico da distribuição adequada.

Gabarito: letra B