Questão de Estatística — Amostragem — FGV 2024

Tamanho da amostra para estimar a média

Gabarito: letra E. Para estimar a média populacional com desvio padrão conhecido, o tamanho mínimo da amostra é dado por $n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2$. Com $z = 2{,}58$ (99% de confiança), $\sigma = 10$ e $E = 1$, temos $n = (2{,}58 \times 10)^2 = 665{,}64$, que arredondado para cima dá 666.

A questão cobra o cálculo do tamanho amostral para um intervalo de confiança da média quando a variância populacional é conhecida. Nesse caso, a margem de erro (ou erro máximo) é $E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, e isolando $n$ obtemos a fórmula direta. O valor de $z$ é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança — para 99%, $z = 2{,}58$ (fornecido no enunciado).

A pegadinha clássica da banca é o arredondamento: como o tamanho amostral deve ser inteiro e suficiente para garantir a margem de erro, arredonda-se sempre para cima. O cálculo exato dá $665{,}64$, então o menor inteiro que atende é 666 — não 665 (que não existe nas alternativas) nem 665,64 (que não é inteiro).

Alternativa A — ❌ Incorreta

15 é um valor muito pequeno. Se aplicarmos a fórmula com $n = 15$, a margem de erro seria $E = 2{,}58 \times \frac{10}{\sqrt{15}} \approx 6{,}66$, muito acima de 1. Esse número não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos — é apenas um distrator.

Alternativa B — ❌ Incorreta

26 também é insuficiente. Com $n = 26$, a margem de erro seria $E = 2{,}58 \times \frac{10}{\sqrt{26}} \approx 5{,}06$, ainda muito acima de 1. Não há relação com a fórmula; é outro distrator numérico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

100 é um valor que poderia ser obtido se o aluno usasse $z = 1$ (ou esquecesse de elevar ao quadrado o produto $z \cdot \sigma$). Com $n = 100$, a margem de erro seria $E = 2{,}58 \times \frac{10}{\sqrt{100}} = 2{,}58$, ainda acima de 1. O número 100 também aparece se o aluno calcular $\left(\frac{10}{1}\right)^2$ sem considerar o $z$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

258 é um valor que surge se o aluno calcular $z \cdot \sigma \cdot E$ (ou seja, $2{,}58 \times 10 \times 1 = 25{,}8$, depois multiplicado por 10) ou se esquecer de elevar ao quadrado o produto $z \cdot \sigma$ (que é $25{,}8$, e não $258$). Com $n = 258$, a margem de erro seria $E = 2{,}58 \times \frac{10}{\sqrt{258}} \approx 1{,}61$, ainda acima de 1.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula corretamente: $n = \left(\frac{2{,}58 \times 10}{1}\right)^2 = (25{,}8)^2 = 665{,}64$. Como o tamanho amostral deve ser inteiro e suficiente para garantir a margem de erro, arredondamos para cima, obtendo 666. Esse é o menor tamanho amostral que atende à condição.

Gabarito: letra E.