Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2024

Teorema do Macaco Infinito e a Lei dos Grandes Números

Gabarito: letra D. O Teorema do Macaco Infinito é uma aplicação direta da lei dos Grandes Números: em uma sequência infinita de tentativas independentes, a frequência relativa de um evento converge para sua probabilidade teórica, de modo que, com probabilidade 1 (quase certamente), qualquer sequência específica — como a obra de Shakespeare — aparecerá em algum momento. As demais alternativas (desigualdades de Chebyshev, Jensen, Markov e lei da Probabilidade Total) são resultados estatísticos que não capturam essa ideia de convergência em repetições infinitas.

O Teorema do Macaco Infinito é um experimento mental clássico que ilustra a diferença entre probabilidade zero e impossibilidade. Embora a probabilidade de um macaco digitar "Romeu e Julieta" em uma única tentativa seja infinitesimal (praticamente zero), a repetição infinita faz com que a probabilidade de nunca ocorrer tenda a zero. Esse fenômeno é formalizado pela lei dos Grandes Números, que garante que a média amostral converge para a média populacional à medida que o número de observações cresce. No contexto do macaco, cada sequência de teclas é uma variável aleatória, e a frequência com que uma sequência específica aparece tende à sua probabilidade, que é positiva (por menor que seja). Assim, em um número infinito de tentativas, a sequência aparece com probabilidade 1.

A banca explora a confusão entre conceitos de probabilidade e teoremas limites. As desigualdades de Markov, Chebyshev e Jensen são ferramentas para limitar probabilidades ou esperanças, mas não tratam de convergência em repetições. A lei da Probabilidade Total é um método de cálculo de probabilidades condicionais, sem relação com o comportamento assintótico. A lei dos Grandes Números é o único conceito que fundamenta a ideia de que, com infinitas tentativas, eventos de probabilidade positiva acabam ocorrendo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A desigualdade de Chebyshev fornece um limite superior para a probabilidade de uma variável aleatória se afastar de sua média, com base na variância. Ela não afirma nada sobre a ocorrência de eventos em repetições infinitas. O erro aqui é confundir uma ferramenta de limitação de probabilidade com um teorema de convergência.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A desigualdade de Jensen relaciona o valor esperado de uma função convexa com a função do valor esperado. É um resultado sobre esperanças, não sobre a frequência de eventos em sequências longas. Não há qualquer conexão com o Teorema do Macaco Infinito.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A desigualdade de Markov limita a probabilidade de uma variável aleatória não negativa exceder um valor positivo, usando apenas a média. Assim como Chebyshev, é uma ferramenta de limitação, não um teorema de convergência. A banca a coloca como distrator por ser um resultado de probabilidade, mas não explica a repetição infinita.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A lei dos Grandes Números estabelece que, para uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, a média amostral converge para a esperança matemática. No contexto do macaco, cada tentativa é uma variável aleatória, e a frequência de um evento (como digitar uma sequência específica) converge para sua probabilidade. Como a probabilidade de qualquer sequência finita é positiva, em infinitas tentativas ela ocorre com probabilidade 1. É exatamente essa convergência que fundamenta o Teorema do Macaco Infinito.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A lei da Probabilidade Total permite calcular a probabilidade de um evento a partir de uma partição do espaço amostral. É uma ferramenta de cálculo, não um teorema sobre o comportamento de sequências infinitas. Não há relação com a ideia de que eventos de probabilidade positiva ocorrem quase certamente em repetições infinitas.

Gabarito: letra D