Questão de Estatística — Teoria das filas — FGV 2024

Lançamento de moedas e distribuição amostral

Gabarito: letra D. Ao lançar 100 moedas não viciadas, o número esperado de caras é 50 (100 × 0,5), mas o resultado exato não é garantido — por isso a afirmação correta é que serão observadas em torno de 50 caras e 50 coroas, e não exatamente 50 de cada. A alternativa E erra ao trocar o valor esperado por uma certeza, e a A erra ao dividir o desvio padrão por 100 em vez de por √100 = 10.

O experimento de lançar 100 moedas segue uma distribuição binomial com n = 100 e p = 0,5. O número de caras X tem média μ = np = 50 e desvio padrão σ = √(npq) = √(100 × 0,5 × 0,5) = 5. A proporção amostral p̂ = X/100 tem média 0,5 e desvio padrão √(pq/n) = √(0,25/100) = 0,05. Pelo Teorema Central do Limite, para n grande, a distribuição da média amostral (ou da proporção) se aproxima da normal, independentemente da distribuição original — o que derruba a alternativa C, que condiciona a normalidade da média amostral à normalidade da população.

A pegadinha central da questão é a confusão entre valor esperado e resultado garantido. A lei dos grandes números garante que, para um número muito grande de lançamentos, a frequência relativa se aproxima da probabilidade teórica — mas não garante que, em 100 lançamentos, o resultado seja exatamente 50/50. A probabilidade de obter exatamente 50 caras em 100 lançamentos é de aproximadamente 7,96% — bem menor do que a intuição sugere.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O erro está no divisor: o desvio padrão da média amostral é σ/√n, não σ/n. Com n = 100, o desvio padrão da média amostral é σ/√100 = σ/10. A alternativa troca a raiz quadrada pelo próprio n — um erro clássico de quem decora a fórmula sem entender a lógica: a variância da média amostral é σ²/n, então o desvio padrão é σ/√n.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que não há chances de ocorrer 100 caras ou 100 coroas. Isso é falso: a probabilidade de sair 100 caras (ou 100 coroas) é (1/2)¹⁰⁰, um número minúsculo, mas diferente de zero. A alternativa confunde probabilidade extremamente baixa com impossibilidade.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Condiciona a normalidade da distribuição da média amostral à normalidade da população original. Isso contraria o Teorema Central do Limite: para amostras grandes (n ≥ 30, em geral), a distribuição da média amostral se aproxima da normal independentemente da distribuição da população. A normalidade da população só é necessária para amostras pequenas.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O número esperado de caras é 50, mas o resultado real varia em torno desse valor. A expressão "em torno de" captura corretamente a natureza probabilística do experimento: o valor esperado é 50, mas a probabilidade de obter exatamente 50 caras é de apenas ~7,96%. A alternativa D é a única que não afirma uma certeza inexistente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que serão observadas exatamente 50 caras e 50 coroas. Isso é falso: o valor esperado é 50, mas o resultado real é aleatório. A probabilidade de obter exatamente 50 caras é de aproximadamente 7,96% — ou seja, na grande maioria das vezes o resultado será diferente de 50/50. A alternativa E troca o valor esperado por uma certeza, o que é a pegadinha central da questão.

Gabarito: letra D