GabaritoE — 2600.
Gabarito: letra E. Para calcular E[Y²], usamos a relação entre o segundo momento e a variância: E[Y²] = Var(Y) + (E[Y])². Como Y = 5X − 100, temos E[Y] = 5·E[X] − 100 = 5·10 − 100 = −50 e Var(Y) = 5²·Var(X) = 25·4 = 100. Logo, E[Y²] = 100 + (−50)² = 100 + 2500 = 2600.
A questão cobra a aplicação direta das propriedades de esperança e variância sob transformações lineares. O ponto central é lembrar que a variância não é afetada por translações (somar/subtrair constante), mas é multiplicada pelo quadrado do fator de escala. Já a esperança é linear: E[aX + b] = a·E[X] + b. A armadilha da banca está em esquecer de somar o quadrado da média ao calcular E[Y²], caindo em 2500 (que é apenas o quadrado de E[Y]) ou em 100 (que é apenas a variância).
A fórmula que resolve é a decomposição do segundo momento:
Vamos aplicá-la passo a passo:
Esperança de Y:
Variância de Y: (a constante −100 não altera a variância)
Segundo momento:
O valor 50 não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Ele poderia ser obtido se alguém calculasse apenas 5·E[X] = 50, ignorando a subtração de 100 e todo o restante. Não há relação com o segundo momento pedido.
O valor 100 é exatamente a variância de Y (Var(Y) = 100). Quem marca esta alternativa calculou corretamente a variância, mas esqueceu de somar o quadrado da esperança (E[Y])² = 2500. É o erro clássico de confundir E[Y²] com Var(Y).
O valor 150 não tem relação com nenhuma etapa do cálculo. Poderia surgir de uma soma equivocada como 100 + 50 (variância + 5·E[X]), mas não corresponde a nenhum momento ou combinação correta.
O valor 2500 é o quadrado da esperança de Y: (E[Y])² = (−50)² = 2500. Quem marca esta alternativa calculou E[Y] corretamente, mas esqueceu de somar a variância. É o erro inverso ao da alternativa B: aqui falta a parcela da variância.
A alternativa correta é 2600, pois E[Y²] = Var(Y) + (E[Y])² = 100 + 2500 = 2600. Aplicamos corretamente a decomposição do segundo momento, usando a linearidade da esperança e a propriedade da variância sob transformação linear.
A banca explora a confusão entre E[Y²] e (E[Y])². Muitos candidatos calculam apenas o quadrado da média (2500) ou apenas a variância (100), esquecendo que o segundo momento é a SOMA dos dois. Lembre-se: E[Y²] = Var(Y) + (E[Y])² — sempre some as duas parcelas!
Para transformações lineares Y = aX + b, decore o par de propriedades: E[Y] = a·E[X] + b e Var(Y) = a²·Var(X). Com isso, o segundo momento sai direto pela fórmula. Treine com valores diferentes para fixar: se X tem média 10 e variância 4, e Y = 5X − 100, o resultado é sempre 2600.
Gabarito: letra E
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