Questão de Estatística — Teoria das filas — FGV 2024

Transformações de variáveis aleatórias

Gabarito: letra C. A transformação que NUNCA é válida é a que afirma que a log-normal é obtida pela transformação inversa logarítmica com base 10 de uma variável normal. Na verdade, a log-normal é obtida pela exponencial da normal (ou seja, se $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$, então $X = e^Y$ é log-normal), e não pelo logaritmo inverso. As demais alternativas descrevem relações corretas entre distribuições.

A questão cobra as relações clássicas entre distribuições de probabilidade, muito exploradas em provas de Estatística. Vamos revisar cada uma:

• Binomial a partir de Bernoulli: a soma de $n$ variáveis de Bernoulli independentes com parâmetro $p$ resulta em uma distribuição Binomial com parâmetros $n$ e $p$. É a definição clássica.

• Gama a partir de exponenciais: a soma de $k$ variáveis exponenciais independentes com mesma taxa $\lambda$ segue uma distribuição Gama com parâmetros $k$ e $\lambda$. A exponencial é um caso particular da Gama.

• Normal padrão a partir da normal: se $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, então $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$. É a padronização.

• Qui-quadrado com 1 grau de liberdade: se $Z \sim N(0,1)$, então $Z^2 \sim \chi^2_{(1)}$. É a definição da distribuição qui-quadrado.

• Log-normal: a definição correta é: se $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$, então $X = e^Y$ tem distribuição log-normal. A alternativa C inverte a operação: diz que a log-normal é obtida pela "transformação inversa logarítmica com base 10" de uma normal, o que não corresponde à definição. A transformação correta é a exponencial (base $e$), e não o logaritmo.

Alternativa A — ✅ Correta

A soma de $n$ variáveis de Bernoulli independentes com parâmetro $p$ gera uma Binomial com parâmetros $n$ e $p$. É a relação fundamental entre essas distribuições.

Alternativa B — ✅ Correta

A soma de $k$ variáveis exponenciais independentes com mesma taxa $\lambda$ segue uma Gama com parâmetros $k$ e $\lambda$. A exponencial é um caso particular da Gama (com $k=1$).

Alternativa C — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

A log-normal é definida como a exponencial de uma variável normal: se $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$, então $X = e^Y$ é log-normal. A alternativa fala em "transformação inversa logarítmica com base 10", o que não corresponde à definição. A base correta é $e$ (número de Euler), e a operação é a exponencial, não o logaritmo.

Alternativa D — ✅ Correta

A padronização de uma variável normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ é $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, que resulta em uma normal padrão $N(0,1)$. É a transformação clássica de padronização.

Alternativa E — ✅ Correta

Se $Z \sim N(0,1)$, então $Z^2 \sim \chi^2_{(1)}$. É a definição da distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

Gabarito: letra C