Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — FGV 2024

Distribuições de probabilidade: conceitos fundamentais

Gabarito: letra E. A alternativa correta define as distribuições transformadas como o processo de criar uma nova variável aleatória a partir de uma ou mais variáveis existentes, aplicando uma função matemática — exatamente o que a letra E descreve. As demais alternativas trocam os conceitos de distribuições condicionais, conjuntas, independentes e marginais, que são noções distintas da relação entre variáveis aleatórias.

A questão cobra a terminologia das distribuições de probabilidade no contexto de variáveis aleatórias multidimensionais. É essencial distinguir quatro tipos de distribuição que descrevem relações entre variáveis:

• Distribuição conjunta: descreve o comportamento simultâneo de duas ou mais variáveis aleatórias, fornecendo a probabilidade de ocorrência conjunta de valores (ex.: $P(X=x, Y=y)$).

• Distribuição marginal: é a distribuição de uma única variável, obtida a partir da conjunta, "somando-se" (ou integrando) sobre os valores da outra variável. Ex.: $P(X=x) = \sum_y P(X=x, Y=y)$.

• Distribuição condicional: descreve o comportamento de uma variável dado que a outra assumiu um valor específico. Ex.: $P(X=x \mid Y=y) = \frac{P(X=x, Y=y)}{P(Y=y)}$.

• Independência: duas variáveis são independentes se a ocorrência de uma não afeta a probabilidade da outra, ou seja, $P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$.

A distribuição transformada é um conceito diferente: trata-se de obter a distribuição de uma nova variável $Y = g(X)$ (ou $Y = g(X_1, X_2, \ldots)$) a partir de uma função aplicada a variáveis existentes. Por exemplo, se $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, então $Y = aX + b$ também é normal, com parâmetros ajustados. Esse é o processo descrito na alternativa E.

A banca explora a confusão entre os conceitos: cada alternativa incorreta atribui a um tipo de distribuição a definição de outro. Vamos analisar cada uma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A definição dada corresponde a independência entre eventos, não a distribuições condicionais. Distribuições condicionais dependem da ocorrência de outro evento: $P(X \mid Y)$ é a probabilidade de $X$ dado que $Y$ ocorreu. A alternativa inverte o conceito, descrevendo independência como se fosse condicional.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A descrição corresponde à distribuição marginal, não à conjunta. A distribuição conjunta descreve o comportamento simultâneo de duas ou mais variáveis, fornecendo a probabilidade de ocorrência conjunta. A marginal, por sua vez, é a distribuição de uma única variável, ignorando as demais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A definição dada é a de distribuição condicional, não de distribuições independentes. Distribuições independentes referem-se a variáveis cuja ocorrência conjunta é o produto das marginais, sem que uma afete a outra. A alternativa descreve justamente o oposto: o efeito de uma variável sobre a outra.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A descrição corresponde à distribuição conjunta, não à marginal. A distribuição marginal modela o comportamento de uma única variável, ignorando as demais. A conjunta é que modela o comportamento de duas ou mais variáveis em conjunto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A definição está correta: distribuições transformadas referem-se ao processo de criar uma nova variável aleatória a partir de uma ou mais variáveis existentes, aplicando uma função matemática. Por exemplo, se $X$ é uma variável aleatória e $Y = X^2$, então a distribuição de $Y$ é uma transformação da distribuição de $X$. Esse é um conceito fundamental em estatística, usado em métodos como transformação de variáveis para encontrar distribuições de funções de variáveis aleatórias.

Gabarito: letra E