Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Função densidade de probabilidade uniforme

Gabarito: letra B. Para que $f(x)=k$ seja uma função densidade de probabilidade no intervalo $[-1,1]$, a área sob a curva — que é a integral de $f(x)$ de $-1$ a $1$ — deve ser igual a 1. Como $f(x)$ é constante, essa área é a de um retângulo de base $2$ e altura $k$, logo $2k=1 \Rightarrow k=\frac{1}{2}$.

Uma função densidade de probabilidade (fdp) de uma variável aleatória contínua deve satisfazer duas condições: ser não negativa e ter integral igual a 1 sobre todo o espaço amostral. No caso de uma distribuição uniforme contínua no intervalo $[a,b]$, a densidade é constante e vale $\frac{1}{b-a}$. Aqui, $a=-1$ e $b=1$, então $k=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$. A banca explora exatamente essa ideia: a altura da densidade é o inverso do comprimento do intervalo de suporte.

A pegadinha comum é esquecer que o intervalo tem comprimento 2 (de $-1$ a $1$) e tratar como se fosse de 0 a 1, o que levaria a $k=1$. Outra confusão frequente é achar que $k$ deve ser um número inteiro ou uma fração com denominador igual ao extremo superior (como $1/3$ ou $1/5$), sem considerar o comprimento real do intervalo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$k=1$ daria área $2 \times 1 = 2$, violando a condição de que a integral da densidade deve ser 1. Esse valor corresponderia a uma distribuição uniforme no intervalo $[0,1]$, não em $[-1,1]$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como o intervalo tem comprimento $2$, a densidade constante que torna a área total igual a 1 é $k=\frac{1}{2}$. De fato, $\int_{-1}^{1} \frac{1}{2}\,dx = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$k=1/3$ daria área $2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \neq 1$. Esse valor não corresponde a nenhuma propriedade da distribuição uniforme nesse intervalo; seria a densidade de uma uniforme em $[0,3]$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$k=1/e$ é um valor sem relação com o problema. A densidade uniforme não envolve a constante de Euler; esse distrator apenas testa se o candidato reconhece que a resposta deve ser um número racional simples derivado do comprimento do intervalo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$k=1/5$ daria área $2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \neq 1$. Novamente, não há base para esse valor; o denominador 5 não tem vínculo com o intervalo $[-1,1]$.

Gabarito: letra B.