Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — FGV 2024

Distribuições de probabilidade: discretas × contínuas

Gabarito: letra A. A distribuição de Bernoulli é um exemplo clássico de função de distribuição de probabilidades discreta, pois a variável aleatória assume apenas dois valores (0 e 1). As demais alternativas (beta, exponencial, gama e log-normal) são distribuições contínuas, definidas por uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) sobre um intervalo contínuo de valores.

A distinção central entre distribuições discretas e contínuas está na natureza da variável aleatória:

• Discreta: a variável assume um conjunto enumerável de valores (finito ou infinito contável). A probabilidade é atribuída a cada valor pontual por meio da função de probabilidade $p(x) = P(X = x)$, e a soma de todas as probabilidades é 1. Exemplos: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geométrica, Hipergeométrica, Binomial Negativa, Uniforme Discreta.

• Contínua: a variável assume valores em um intervalo (conjunto não enumerável). A probabilidade de um ponto específico é zero; calcula-se probabilidade por áreas sob a função densidade de probabilidade $f(x)$, com $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$. Exemplos: Normal, Exponencial, Gama, Beta, Qui-quadrado, t de Student, F de Snedecor, Uniforme Contínua.

A banca explora exatamente essa classificação: o candidato que confunde Bernoulli (discreta) com as distribuições contínuas erra a questão. A pegadinha é que o nome "Bernoulli" também aparece em outros contextos (como o Teorema de Bernoulli na hidrodinâmica), mas aqui o sentido é estritamente estatístico.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distribuição de Bernoulli modela um experimento com dois resultados possíveis (sucesso/fracasso), codificados como 0 e 1. É uma distribuição discreta por definição, pois a variável aleatória $X$ assume apenas os valores 0 e 1, com probabilidades $P(X=1) = p$ e $P(X=0) = 1-p$. É o caso mais simples de distribuição discreta e a base para a distribuição Binomial (soma de $n$ Bernoulli independentes).

Alternativa B — ❌ Incorreta

A distribuição Beta é contínua, definida no intervalo $[0,1]$, com função densidade de probabilidade dependente de dois parâmetros de forma ($\alpha$ e $\beta$). É muito usada como distribuição a priori em inferência bayesiana, mas não é discreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distribuição Exponencial é contínua, modela o tempo entre ocorrências de eventos em um processo de Poisson (ex.: tempo de vida de componentes). Sua função densidade é $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, para $x \geq 0$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A distribuição Gama é contínua, generaliza a Exponencial e a Qui-quadrado. É definida para valores positivos e possui dois parâmetros (forma e escala). Não é discreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A distribuição Log-normal é contínua: se $Y$ tem distribuição normal, então $X = e^Y$ tem distribuição log-normal. É usada para modelar variáveis positivas com assimetria à direita (ex.: renda, preços de ativos). Não é discreta.

Gabarito: letra A