Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — FGV 2024

Distribuições de probabilidade: discretas × contínuas

Gabarito: letra E. A distribuição de Weibull é uma distribuição contínua de probabilidade, enquanto binomial, binomial negativa, geométrica e hipergeométrica são todas discretas. A questão testa exatamente essa classificação: saber separar as distribuições que modelam variáveis aleatórias contínuas (que assumem valores em um intervalo) das que modelam variáveis discretas (que assumem valores em um conjunto enumerável).

A distinção central é a natureza da variável aleatória que cada distribuição descreve. Uma variável aleatória discreta assume valores em um conjunto finito ou enumerável (contável), como o número de sucessos em $n$ tentativas ou o número de tentativas até o primeiro sucesso. Já uma variável aleatória contínua assume valores em um intervalo da reta real (não enumerável), como tempo até a falha de um equipamento, altura, peso etc. As distribuições discretas têm função de probabilidade $p(x) = P(X = x)$, enquanto as contínuas têm função densidade de probabilidade $f(x)$, e a probabilidade de um ponto isolado é zero — calcula-se probabilidade por intervalos, integrando a densidade.

A banca explora a confusão clássica: o aluno que decora nomes de distribuições sem entender a natureza da variável pode marcar qualquer uma das discretas. A Weibull, junto com a exponencial, a gama, a normal, a uniforme contínua, a t de Student, a qui-quadrado e a F de Snedecor, pertence ao grupo das contínuas. As quatro alternativas erradas são todas discretas — a pegadinha é justamente listar quatro distribuições discretas conhecidas e uma contínua menos óbvia, para testar se o candidato sabe classificar.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A distribuição binomial é discreta. Ela modela o número de sucessos em $n$ tentativas independentes de Bernoulli, com probabilidade de sucesso $p$ em cada tentativa. A variável $X$ assume valores inteiros $0, 1, 2, \dots, n$ — um conjunto finito e enumerável. Portanto, não é um exemplo de função de distribuição contínua.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A distribuição binomial negativa é discreta. Ela modela o número de tentativas (ou de fracassos) até se obter um número fixo $r$ de sucessos, em uma sequência de tentativas independentes de Bernoulli. A variável assume valores inteiros $r, r+1, r+2, \dots$ — um conjunto infinito, mas enumerável. Logo, é discreta, não contínua.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distribuição geométrica é discreta. Ela é um caso particular da binomial negativa com $r = 1$: modela o número de tentativas até o primeiro sucesso (ou o número de fracassos antes do primeiro sucesso). A variável assume valores inteiros $1, 2, 3, \dots$ — enumerável. Portanto, é discreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A distribuição hipergeométrica é discreta. Ela modela o número de sucessos em uma amostra retirada sem reposição de uma população finita, onde há $K$ sucessos e $N-K$ fracassos. A variável assume valores inteiros entre $\max(0, n-(N-K))$ e $\min(n, K)$ — um conjunto finito. Logo, é discreta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distribuição Weibull é contínua. Ela é amplamente usada em análise de confiabilidade e modelagem de tempo até a falha de equipamentos, com função densidade de probabilidade definida para $x \geq 0$ e parâmetros de forma ($k$) e escala ($\lambda$). A variável assume qualquer valor real não negativo — um intervalo contínuo. Portanto, é um exemplo de função de distribuição de probabilidades contínua.

Gabarito: letra E