Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg098859

Teorema de Bayes aplicado a testes diagnósticos

Gabarito: letra A (1/6). A probabilidade de a mulher estar grávida dado que o teste deu positivo é calculada pelo Teorema de Bayes, que combina a sensibilidade (99%), a especificidade (95%) e a prevalência (1%). O resultado é aproximadamente 16,7%, ou seja, 1/6 — um valor surpreendentemente baixo, pois a maioria dos resultados positivos são falsos-positivos devido à baixa prevalência da gravidez na população.

O Teorema de Bayes é a ferramenta central para atualizar probabilidades quando recebemos novas informações. No contexto de testes diagnósticos, ele responde à pergunta: "dado que o teste deu positivo, qual a chance de a condição realmente estar presente?". Essa probabilidade é chamada de valor preditivo positivo (VPP) do teste.

Para aplicar o teorema, precisamos de três componentes:

Prevalência (probabilidade a priori): $P(G) = 0{,}01$ — chance de a mulher estar grávida antes do teste.
Sensibilidade: $P(T^+ | G) = 0{,}99$ — chance de o teste dar positivo se a mulher está grávida.
Especificidade: $P(T^- | \bar{G}) = 0{,}95$ — chance de o teste dar negativo se a mulher não está grávida. Consequentemente, a chance de um falso-positivo é $P(T^+ | \bar{G}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$ .

O Teorema de Bayes para o VPP é:

P(G | T^+) = \frac{P(T^+ | G) \cdot P(G)}{P(T^+ | G) \cdot P(G) + P(T^+ | \bar{G}) \cdot P(\bar{G})}

Substituindo os valores:

P(G | T^+) = \frac{0{,}99 \times 0{,}01}{0{,}99 \times 0{,}01 + 0{,}05 \times 0{,}99} = \frac{0{,}0099}{0{,}0099 + 0{,}0495} = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} \approx 0{,}1667 = \frac{1}{6}

O denominador representa a probabilidade total de um teste positivo, que é a soma dos verdadeiros-positivos e dos falsos-positivos. Note que, apesar da alta sensibilidade e especificidade, a baixa prevalência (1%) faz com que os falsos-positivos (5% das 99% de mulheres não grávidas) superem em muito os verdadeiros-positivos (99% das 1% de mulheres grávidas).

Caso	Atribuição	Resultado
Grávida (G)	P(G) = 0,01; P(T⁺\|G) = 0,99	Verdadeiro-positivo = 0,0099
Não grávida (¬G)	P(¬G) = 0,99; P(T⁺\|¬G) = 0,05	Falso-positivo = 0,0495
Total	P(T⁺) = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594	P(G\|T⁺) = 0,0099 / 0,0594 ≈ 0,1667 = 1/6

Grávida

Não grávida

Teste negativo

Verdadeiro positivo (99)

Falso positivo (495)

Teste positivo

Falso negativo (1)

Verdadeiro negativo (9.405)

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta o valor correto de $\frac{1}{6}$ , que é o resultado do Teorema de Bayes conforme calculado acima. A fração $\frac{1}{6} \approx 0{,}1667$ corresponde exatamente à probabilidade de a mulher estar grávida dado o resultado positivo do teste.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{3}$ (aproximadamente 33,3%) seria obtido se a prevalência fosse maior ou se a especificidade fosse menor. Por exemplo, se a prevalência fosse de 2% e a especificidade de 90%, o resultado se aproximaria de 1/3. A banca usa esse distrator para testar se o aluno percebe que a prevalência baixa reduz drasticamente o VPP, mesmo com alta sensibilidade e especificidade.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{2}$ (50%) seria o resultado se a prevalência fosse de aproximadamente 5%, mantendo sensibilidade e especificidade. Esse distrator atrai quem raciocina apenas com a sensibilidade (99%) e a especificidade (95%), sem considerar a prevalência, ou quem confunde o VPP com a sensibilidade.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{19}{20}$ (95%) corresponde exatamente à especificidade do teste. A banca explora a confusão entre especificidade e valor preditivo positivo: o aluno pode pensar que, como a especificidade é 95%, a probabilidade de estar grávida dado o teste positivo também seria 95%, o que é incorreto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{99}{100}$ (99%) corresponde à sensibilidade do teste. Esse é o distrator mais perigoso, pois atrai quem confunde sensibilidade (probabilidade de teste positivo dado que está grávida) com valor preditivo positivo (probabilidade de estar grávida dado teste positivo). A inversão da condicional é o erro clássico que a banca explora.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a sensibilidade (99%) e a especificidade (95%) pelo valor preditivo positivo (1/6). Muitos candidatos respondem 99/100 ou 19/20 por confundirem a direção da probabilidade condicional. Lembre-se: sensibilidade é $P(T^+ | G)$ , enquanto o VPP é $P(G | T^+)$ — são probabilidades condicionais inversas, e o Teorema de Bayes é a ponte entre elas. A baixa prevalência (1%) é o fator que derruba o VPP, mesmo com um teste de alta qualidade.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de teste diagnóstico, monte uma tabela 2x2 com uma população hipotética de 10.000 mulheres. Preencha: 1% grávidas (100), 99% não grávidas (9.900). Entre as grávidas, 99% testam positivo (99) e 1% negativo (1). Entre as não grávidas, 95% testam negativo (9.405) e 5% positivo (495). O VPP é $\frac{99}{99+495} = \frac{99}{594} = \frac{1}{6}$ . Essa abordagem concreta evita erros de fórmula e é mais rápida na prova.

Gabarito: letra A