Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Axiomas da probabilidade: o que falta verificar

Gabarito: letra A. O pesquisador já confirmou dois dos três axiomas de Kolmogorov — a probabilidade entre 0 e 1 (Axioma 1) e a probabilidade do espaço amostral igual a 1 (Axioma 2). Falta verificar o terceiro: a aditividade (para eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades). As demais alternativas (complementaridade, distribuição uniforme, independência, probabilidade condicional) não são axiomas da teoria da probabilidade, mas propriedades ou conceitos derivados.

A teoria axiomática da probabilidade, formalizada por Kolmogorov, parte de três axiomas que toda função de probabilidade deve satisfazer. O material de apoio apresenta exatamente essa estrutura:

Axiomas da Probabilidade (Kolmogorov):

Axioma 1 — a probabilidade de um evento é um número entre 0 e 1, inclusive.

Axioma 2 — a probabilidade do espaço amostral é 1.

Axioma 3 — para uma sequência de eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades individuais.

O enunciado já verificou os dois primeiros. O terceiro, que trata da aditividade finita (ou, na forma geral, aditividade enumerável), é o que falta. É ele que garante, por exemplo, que $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ quando $A$ e $B$ são mutuamente exclusivos — a base para a regra da adição.

A pegadinha da banca está em listar alternativas que são conceitos importantes da probabilidade, mas não axiomas. Complementaridade, independência e probabilidade condicional são propriedades que se derivam dos axiomas; distribuição uniforme é um modelo de distribuição específico. O candidato que não tem os três axiomas na ponta da língua acaba escolhendo um desses distratores.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A aditividade finita é exatamente o terceiro axioma de Kolmogorov: para eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades. Como o pesquisador já verificou os Axiomas 1 e 2, este é o que falta para confirmar que o fenômeno atende à teoria da probabilidade.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A complementaridade ($P(A^c) = 1 - P(A)$) é uma propriedade derivada dos axiomas, não um axioma em si. Ela decorre do fato de que $A$ e $A^c$ são mutuamente exclusivos e sua união é o espaço amostral — logo, pelo Axioma 3, $P(A) + P(A^c) = P(S) = 1$. Não é um requisito independente a ser verificado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distribuição uniforme é um modelo de probabilidade específico (todos os resultados têm a mesma probabilidade), não um axioma. Ela é uma aplicação da teoria, não um requisito para que um fenômeno seja considerado probabilístico. Um fenômeno pode atender aos axiomas sem seguir uma distribuição uniforme.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A independência entre eventos ($P(A \cap B) = P(A)P(B)$) é um conceito que se define a partir da probabilidade condicional, e não um axioma. Ela é uma propriedade que certos eventos podem ter, mas não é exigida para que a função de probabilidade seja válida.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A probabilidade condicional ($P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)$) é uma definição que estende o conceito de probabilidade, não um axioma. Ela é construída a partir dos axiomas e é usada em teoremas como o de Bayes, mas não é um requisito fundamental da teoria.

Gabarito: letra A — o axioma que falta verificar é a aditividade finita.